非负级数

1. 前置

• converge

2. 有限级数(有限求和)

$a_i\in \mathbb{R}$

$n<m⟹{\sum }_{i=m}^n{a}_i=0$

${\sum }_{i=m}^m{a}_i=a_m$

${\sum }_{i=m}^{n+1}{a}_i={\sum }_{i=m}^n{a}_i+a_{n+1}$

有数学归纳法可得，对于每一个$n\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$，${\sum }_{i=m}^n{a}_i$ 被唯一定义。

有限集上求和: $X$ 是有限集，$f:X\to \mathbb{R}$ 是函数，$g:\{i\in \mathbb{Z}|1<i<n\}\to X$ 是双射, $f$ 在 $X$ 上的求和${\sum }_{x\in X}f(x)={\sum }_{i=1}^{n}f(g(i))$

通过数学归纳法可证明：(Finite summations are well-defined) Let $X$ be a finite set with $n$ elements (where $n\in \mathbb{N}$), let $f:X\to \mathbb{R}$ be a function, and let $g:\{i\in \mathbb{N}:1\le i\le n\}\to X$ and $h:\{i\in \mathbb{N}:1\le i\le n\}\to X$ be bijections. Then we have ${\sum }_{i=1}^{n}f(g(i))={\sum }_{i=1}^{n}f(h(i))$

因此，有限集上求和是良定义的。

2.1. 性质

1. ${\sum }_{i=m}^n{a}_i+{\sum }_{i=n+1}^p{a}_i={\sum }_{i=m}^p{a}_i$ for $m\le n<p$
2. ${\sum }_{i=m}^n{a}_i={\sum }_{j=m+k}^{n+k}{a}_{j-k}$
3. ${\sum }_{i=m}^n{a}_i+b_i={\sum }_{i=m}^n{a}_i+{\sum }_{i=m}^n{b}_i$
4. ${\sum }_{i=m}^{n}c{a}_i=c{\sum }_{i=m}^n{a}_i$
5. $|{\sum }_{i=m}^n{a}_i|\le {\sum }_{i=m}^n|a_i|$
6. $a_i\le b_i⟹{\sum }_{i=m}^n{a}_i\le {\sum }_{i=m}^n{b}_i$

3. 正项(非负)无穷级数

规定(对于正项级数求和只需要定义下面这些运算就可以了)：

• $x\in \mathbb{R},y=+\infty ,x+y=y+x=+\infty$
• $x=+\infty ,y=\infty ,x+y=y+x=+\infty$
• $x\in \mathbb{R}\wedge x>0,y=\infty ,xy=yx=\infty$
• $x=\infty ,y=\infty ,xy=yx=\infty$
• $x=0，y=\infty ,xy=yx=0$

若没有额外说明，则以下默认$a_i,b_i\in {\overline{\mathbb{R}}}^{\ast }$

${\sum }_{i=m}^m{a}_i=a_m$

${\sum }_{i=m}^{n+1}{a}_i={\sum }_{i=m}^n{a}_i+a_{n+1}$

${\sum }_{i=m}^n{a}_i<{\sum }_{i=m}^{n+1}{a}_i$, 所以数列$({\sum }_{i=m}^n{a}_i{)}_{n\ge m}$ 是单调递增的,因此极限存在。

${\sum }_{i=m}^{\infty }{a}_i={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=m}^n{a}_i$

有穷(有限)正项级数$S={\sum }_{i=m}^n{a}_i$ 可看作无穷正项级数的一种特例，即令数列$a_n$ 在$i\ge n$时恒为 0。

可数集上求和：$X$ 是可数集，$f:X\to {\overline{\mathbb{R}}}^{\ast }$ 是函数，$g:{\mathbb{Z}}_{\ge m}\to X$ 是双射, $f$ 在 $X$ 上的求和${\sum }_{x\in X}f(x)={\sum }_{i=m}^{\infty }f(g(i))$, 由正项级数的性质可得，以上定义的可数集上求和是良定义的。

3.1. 性质

1. $\forall a,b,c,d\in {\overline{\mathbb{R}}}^{\ast },a\le b\wedge c\le d⟹a+c\le b+d$
2. (Zero test) Let $n=m$ an be a convergent(收敛到$\mathbb{R}$中的某个数) series of real numbers. Then we must have ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$.
3. 若存在$n_0\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$使得$a_{n_0}=+\infty$,则${\sum }_{i=m}^{\infty }{a}_i=+\infty$,特别地,若$n_0<n$, 则${\sum }_{i=m}^n=+\infty$
4. 若$a_n\to L,c\in {\overline{\mathbb{R}}}^{\ast }$,则$c{a}_n\to cL$
5. ${\sum }_{i=m}^{\infty }c{a}_i=c{\sum }_{i=m}^{\infty }{a}_i,c\ge 0$
6. $\forall a_i\le b_i⟹{\sum }_{i=m}^n{a}_i\le {\sum }_{i=m}^n{b}_i$
7. $\forall a_i\le b_i⟹{\sum }_{i=m}^{\infty }{a}_i\le {\sum }_{i=m}^{\infty }{b}_i$
8. ${\sum }_{i=m}^{\infty }{a}_i+{\sum }_{i=m}^{\infty }{b}_i={\sum }_{i=m}^{\infty }(a_i+b_i)$
9. $\forall k\in \mathbb{N},{\sum }_{i=m}^{\infty }{a}_i={\sum }_{i=m}^{m+k-1}{a}_i+{\sum }_{i=m+k}^{\infty }{a}_i$
10. ${\sum }_{i=m}^{\infty }={\sum }_{i=m+k}^{\infty }{a}_{i-k}$
11. 若$f:{\mathbb{Z}}_{\ge m}\to {\mathbb{Z}}_{\ge m}$为双射，则${\sum }_{i=m}^{\infty }{a}_i={\sum }_{i=m}^{\infty }{a}_{f(i)}$
12. $\underset{n_2\to \infty }{\lim }{\sum }_{i=m_1}^n{\sum }_{j=m_2}^{n_2}f(i,j)={\sum }_{i=m_1}^n\underset{n_2\to \infty }{\lim }{\sum }_{j=m_2}^{n_2}f(i,j)$
13. 正项级数的 Fubini 定理：${\sum }_{i=m_1}^{\infty }{\sum }_{j=m_2}^{\infty }f(i,j)={\sum }_{j=m_2}^{\infty }{\sum }_{i=m_1}^{\infty }f(i,j)={\sum }_{(i,j)\in {\mathbb{Z}}_{\ge m_1}\times {\mathbb{Z}}_{\ge m_2}}f(i,j)={\sum }_{(j,i)\in {\mathbb{Z}}_{\ge m_2}\times {\mathbb{Z}}_{\ge m_1}}f(j,i)$
14. 设$X$为可数集，$A\subseteq X$,则${\sum }_{x\in A}f(x)={\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$
15. 设$X$为可数集，$A\cup B=X$, $A\cap B=\varnothing$,则${\sum }_{x\in X}f(x)={\sum }_{x\in X}(f(x)I_A(x)+f(x)I_B(x))={\sum }_{x\in A}f(x)+{\sum }_{x\in B}f(x)$

4. 非负级数的上确界形式的定义

设 $X$ 是一个集合（不一定可数），$f:X\to [0,+\infty ]$ 是一个取值为非负扩展实数的函数。我们定义 $f$ 在 $X$ 上的级数为：${\sum }_{x\in X}f(x):=\sup \left\{{\sum }_{x\in K}f(x):K\subseteq X,K\text{ 是有限集}\right\}$

首先证明此定义与之前的至多可数的级数定义兼容

如果 $X$ 是有限集，则显然兼容。

如果 $X$ 是可数集，且 $g:{\mathbb{Z}}_{\ge m}\to X$ 是一个双射，那么：${\sup }_{K\subseteq X,|K|<\infty }{\sum }_{x\in K}f(x)={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=m}^{n}f(g(i))$
证明思路：

• ($\ge$)：任何部分和 ${\sum }_{i=m}^{n}f(g(i))$ 都是 $X$ 的一个有限子集的和，所以极限（上确界）一定小于等于右边的 $\sup$。
• ($\le$)：任何有限子集 $K\subseteq X$ 中的元素，总会在 $n$ 足够大时全部出现在 $\{g(m),\dots ,g(n)\}$ 中。由于是非负项，部分和会大于等于该有限子集的和。

Q.E.D.