Banach代数上的指数

前置

• banach代数上的级数

设 $A$ 是实或复含幺 Banach 代数，且 $\Vert 1\Vert =1$。$e^a$ 按 指数级数 定义。

引理（二项式展开）. 设 $a,b\in A$ 且 $ab=ba$。则对任意整数 $n\ge 0$，

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^k{b}^{n-k}.$$

proof

$ab=ba$ 时，$a$、$b$ 与单位元生成的含幺子环是交换环。 的定理 (9) 用在这个子环上。

引理（加法公式）. 设 $a,b\in A$ 且 $ab=ba$。则 $e^{a+b}=e^a{e}^b$。

proof

记 $s_N(x)={\sum }_{n=0}^N{x}^n/n!$。由二项式展开，

$$\frac{(a+b{)}^n}{n!}=\sum _{k=0}^n\frac{C_n^k}{n!}{a}^k{b}^{n-k}.$$

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$，故 $\frac{C_n^k}{n!}=\frac{1}{k!(n-k)!}$。因此

$$\frac{(a+b{)}^n}{n!}=\sum _{k=0}^n\frac{a^k}{k!}\frac{b^{n-k}}{(n-k)!},$$

故

$$s_N(a+b)=\sum _{k+m\le N}\frac{a^k}{k!}\frac{b^m}{m!},s_N(a)s_N(b)=\sum _{k\le N,m\le N}\frac{a^k}{k!}\frac{b^m}{m!}.$$

二者之差只含 $k\le N$、$m\le N$ 且 $k+m>N$ 的项。取 $N=2M$。这些项或者 $k\ge M+1$，或者 $m\ge M+1$。两类的范数之和大于等于差的范数。由 幂 的估计 $\Vert a^n\Vert \le \Vert a{\Vert }^n$，

$$\begin{array}{rl}\Vert s_N(a)s_N(b)-s_N(a+b)\Vert & \le \left(\sum _{k\ge M+1}\frac{\Vert a{\Vert }^k}{k!}\right)\sum _{m\ge 0}\frac{\Vert b{\Vert }^m}{m!}\\ & +\left(\sum _{m\ge M+1}\frac{\Vert b{\Vert }^m}{m!}\right)\sum _{k\ge 0}\frac{\Vert a{\Vert }^k}{k!}.\end{array}$$

实指数级数收敛，见 指数级数，故 $M\to \infty$ 时右端趋于 $0$。由定义 $s_N(a+b)\to e^{a+b}$。由 乘法连续性，$s_N(a)s_N(b)\to e^a{e}^b$。因此 $e^{a+b}=e^a{e}^b$。