几乎处处收敛和依测度收敛

测度论中的a.e.(almost everywhere) 就是概率论里的a.s.(almost surely)

依概率收敛是依测度收敛在概率论中的表现形式。

在本节的所有定义和性质中，大部分都可以 将函数的陪域替换为更一般的可测空间、拓扑空间或度量空间。
可替换的部分将依次在开头使用【可】、【拓】、【度】来标记。

1. 前置

measurable-func

2. 关系图

graph TD
    AE[几乎处处收敛]
    AUN[几乎一致收敛]
    MU[依测度收敛]
    AUN --> AE
    AUN --> MU
    AE -- 有限测度 --> AUN

3. 定义

• 设$f,g$均为定义在测度空间$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$上的广义实值函数
  • 若$\mu (f\ne \pm \infty )=0$,则称$f$几乎处处有限(finite almost everywhere)(a.e. 有限)
  • 【度】若$\exists M>0$ s.t. $\mu (|f|>M)=0$, 则称$f$几乎处处有界(bounded almost everywhere)(a.e. 有界)
  • 【可】若$\mu (f\ne g)=0$,则称$f$与$g$几乎处处相等(equal almost everywhere)($f=g$ a.e.)
  • 若$\mu (f<g)=0$, 则称$f$几乎处处大于($f\ge g$ a.e.)
  • 【可】若$\exists g\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ s.t. $f=g$ a.e.,则称$f$几乎处处可测(measurable almost everywhere)(a.e. 可测)
• 【可】设$\{f,f_n,n\ge 1\}$是a.e.有限的广义实值函数列，若存在零测集$N$使得$\omega \in N^c$时,$f_n(\omega )\to f(\omega )$，则称$f_n$几乎处处收敛(almost everywhere convergence)(a.e. 收敛)到$f$。记作$f_n\stackrel{\text{a.e.}}{\to }f$。
• 【度】设$\{f,f_n,n\ge 1\}$是a.e.有限的广义实值函数列，若存在零测集$N$使得$\omega \in N^c$时，$\{f_n,n\ge 1\}$为基本列，则称$\{f_n\}$为几乎处处收敛的基本列
• 【度】设$f,f_n,n\ge 1$为广义实值可测函数列，若$\forall \delta >0$,存在满足$\mu (A)<\delta$的$A\in \mathcal{F}$使得$\{f_n\}$在$A^c$上一致收敛于$f$,则称$\{f_n\}$几乎一致收敛于$f$。记作$f_n\stackrel{\text{a.un.}}{\to }f$。
• 【度】设$\{f,f_n,n\ge 1\}$是a.e.有限的广义实值可测函数列，若$\underset{n\to \infty }{\lim }\mu \{|f_n-f|\ge ϵ\}=0,\forall ϵ>0$，则称$\{f_n\}$依测度收敛于$f$。记作$f_n\stackrel{\mu }{\to }f$。
• 【度】设$\{f_n,n\ge 1\}$是a.e.有限的广义实值可测函数列，若$\underset{m,n\to \infty }{\lim }\mu \{|f_m-f_n|\ge ϵ\}=0,\forall ϵ>0$，则称$\{f_n\}$为依测度收敛的基本列。
• 设$\{\mathbf{X},{\mathbf{X}}_n,n\ge 1\}$为$d$维R.V.序列，若$\underset{n\to \infty }{\lim }P\{|{\mathbf{X}}_n-\mathbf{X}|\ge ϵ\}=0,\forall ϵ>0$，则称$\{{\mathbf{X}}_n\}$为依概率收敛于$\mathbf{X}$。记作${\mathbf{X}}_n\stackrel{\text{P}}{\to }\mathbf{X}$。

4. 性质

1. 【可】若$\mu$是$\mathcal{F}$上的完备测度，则
   • 几乎处处相等的函数要么都可测，要么都不可测。
   • 几乎处处可测函数是可测函数。
2. 设$\{f_n,n\ge 1\}\subseteq \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$，$f$为广义实值函数，$f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$，则$f$ a.e.可测，进一步地若$\mu$为完备测度，那么$f$可测。
3. 【度】设$\{f,f_n,n\ge 1\}$是a.e.有限的广义实值可测函数列，则
   $f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$ $⟺$ $\mu (\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }\{|f_k-f|\ge ϵ\})=0,\forall ϵ$
4. 【度】设$\{f,f_n,n\ge 1\}$是a.e.有限的广义实值可测函数列,$\mu$为有限测度，则
   $f_n\stackrel{a.e.}{\to }f⟺\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (\bigcup _{k=n}^{\infty }\{|f_k-f|\ge ϵ\})=0,\forall ϵ>0⟺\underset{n\to \infty }{\lim }\mu \{\underset{k\ge n}{\sup }|f_k-f|\ge ϵ\}=0,\forall ϵ>0$
5. 【度】设$\{f_n,n\ge 1\}$是a.e.有限的广义实值可测函数列，则$\{f_n\}$为几乎处处收敛的基本列当且仅当
   $\mu (\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }\{|f_k-f_n|\ge ϵ\})=0,\forall ϵ>0$
6. 【度】设 $\{f_n,n\ge 1\}$ 是 a.e. 有限的广义实值可测函数列。
   • 若$\underset{n\to \infty }{\lim }\mu \left({\bigcup }_{k=n}^{\infty }\{|f_k-f_n|\ge \epsilon \}\right)=0,\forall \epsilon >0⟺\underset{n\to \infty }{\lim }\mu \left(\left\{{\sup }_{k\ge n}|f_k-f_n|\ge \epsilon \right\}\right)=0,\forall \epsilon >0.$
     则 $\{f_n\}$ 为几乎处处收敛的基本列；
   • 当 $\{f_n\}$ 为几乎处处收敛的基本列，且 $\mu$ 为有限测度时，上式成立。
7. 【度】设 $\{f_n,n\ge 1\}$ 是 a.e. 有限的广义实值可测函数列，且$\mu$为有限测度,则
   $\{f_n\}$ 为几乎处处收敛的基本列当且仅当存在某个广义实值可测函数 $f$，使得$f_n\stackrel{\text{a.e.}}{\to }f.$
8. 【度】$f_n\stackrel{\text{a.un.}}{\to }f⟺\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (\bigcup _{k=n}^{\infty }\{|f_k-f|\ge ϵ\})=0,\forall ϵ>0$
9. 【度】$f_n\stackrel{\text{a.un.}}{\to }f⟹f_n\stackrel{\text{a.e.}}{\to }f$
10. 【度】若$\mu$是有限测度，则$f_n\stackrel{\text{a.e.}}{\to }f⟹f_n\stackrel{\text{a.un.}}{\to }f$
11. 【度】$f_n\stackrel{\text{a.un.}}{\to }f⟹f_n\stackrel{\mu }{\to }f$
12. 【度】若$\mu$为有限测度，则$f_n\stackrel{\text{a.e.}}{\to }f⟹f_n\stackrel{\mu }{\to }f$
13. 【度】$f_n\stackrel{\mu }{\to }f$当且仅当对$\{f_n,n\ge 1\}$的任何子列$\{f_{n_k},k\ge 1\}$，存在另一个子列$\{f_{n_{k_l}},l\ge 1\}$，使得$f_{n_{k_l}}\stackrel{\text{a.un.}}{\to }f$
14. 【度】若$\mu$为有限测度，则$f_n\stackrel{\mu }{\to }f$当且仅当对$\{f_n,n\ge 1\}$的任何子列$\{f_{n_k},k\ge 1\}$，存在另一个子列$\{f_{n_{k_l}},l\ge 1\}$，使得$f_{n_{k_l}}\stackrel{\text{a.e.}}{\to }f$
15. 若$\mu$为有限测度，则$\{f_n,n\ge 1\}$为依测度收敛的基本列，则其存在子序列为几乎处处收敛的基本列
16. 若$\mu$为有限测度，则$\{f_n,n\ge 1\}$是依测度收敛的基本列当且仅当存在某个广义实值可测函数$f$，使得$f_n\stackrel{\mu }{\to }f$
17. 设 $\{f_n^{(i)},n\ge 1\}$ 为实值可测函数列，$f_n^{(i)}\to f^{(i)}$，$i=1,2,\dots ,k$。又设 $h:{\mathbb{R}}^{\mathbb{k}}\to \mathbb{R}$ 为可测函数，令${\mathbf{f}}_n:=(f_n^{(1)},f_n^{(2)},\dots ,f_n^{(k)}),\mathbf{f}:=(f^{(1)},f^{(2)},\dots ,f^{(k)}),$ 且都在 $D\subseteq {\mathbb{R}}^k$ 中取值。
    • 若 $h$ 在 $D$ 上一致连续，则 $h\circ {\mathbf{f}}_n\stackrel{\mu }{\to }h\circ \mathbf{f}$；
    • 若 $h$ 在 $D$ 上连续，$\mu$ 为有限测度，则 $h\circ {\mathbf{f}}_n\stackrel{\mu }{\to }h\circ \mathbf{f}$。
18. 设$\{\mathbf{X},{\mathbf{X}}_n,n\ge 1\}$为$d$维R.V.序列，则${\mathbf{X}}_n\stackrel{\text{P}}{\to }\mathbf{X}$当且仅当 对于$\{{\mathbf{X}}_n,n\ge 1\}$的任何子列$\{{\mathbf{X}}_{n_k},k\ge 1\}$，存在另一个子列$\{{\mathbf{X}}_{n_{k_l}},l\ge 1\}$，使得${\mathbf{X}}_{n_{k_l}}\stackrel{\text{a.s.}}{\to }\mathbf{X}$。
19. 设$\{\mathbf{X},{\mathbf{X}}_n,n\ge 1\}$为$d$维R.V.序列，${\mathbf{X}}_n\stackrel{\text{P}}{\to }\mathbf{X},\mathbf{h}:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^j$为连续函数，则$\mathbf{h}({\mathbf{X}}_n)\stackrel{\text{P}}{\to }\mathbf{h}(\mathbf{X})$。
20. 设$h$为度量空间$(E,\rho )$到另一度量空间$(S,d)$的映射，$D(h)$表示$h$的所有不连续点。则$D(h)$为$E$中的$Borel$集。
21. 设$\{\mathbf{X},{\mathbf{X}}_n,n\ge 1\}$为$d$维R.V.序列，${\mathbf{X}}_n\stackrel{\text{P}}{\to }\mathbf{X},\mathbf{h}:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^j$为可测映射，若$P\{\mathbf{X}\in D(h)\}=0$,则$\mathbf{h}({\mathbf{X}}_n)\stackrel{\text{P}}{\to }\mathbf{h}(\mathbf{X})$。其中$\{X\in D(h)\}$表示$X^{-1}(D(h))$
22. 【拓】收敛的子序列原理：$x_n\to x⟺$对于任意的子列$x_{n_k}$，存在另一个子列$x_{n_{k_l}}$，使得$x_{n_{k_l}}\to x$。
23. 依概率收敛的子序列原理：${\mathbf{X}}_n\stackrel{\text{P}}{\to }\mathbf{X}⟺$对于任意的子列$\{{\mathbf{X}}_{n_k},k\ge 1\}$，存在另一个子列$\{{\mathbf{X}}_{n_{k_l}},l\ge 1\}$，使得${\mathbf{X}}_{n_{k_l}}\stackrel{\text{P}}{\to }\mathbf{X}$。