可测函数

Prerequisites

• measurable-mapping
• converge

定义

• 若$f$是从$(\Omega ,\mathcal{F})$到$(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$的可测映射，则称$f$为$(\Omega ,\mathcal{F})$上的可测函数,简称$\mathcal{F}$-可测函数。
• 若$f$是从$(\Omega ,\mathcal{F})$到$(\overline{\mathbb{R}},\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}}))$的可测映射，则称$f$为$(\Omega ,\mathcal{F})$上的广义实值可测函数,简称$\mathcal{F}$-可测广义实值函数。
• $\mathcal{L}(\Omega ,\mathcal{F})$表示$(\Omega ,\mathcal{F})$上的所有可测函数构成的集合。
• ${\mathcal{L}}^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$表示$(\Omega ,\mathcal{F})$上的所有非负可测函数构成的集合。
• $\overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$表示$(\Omega ,\mathcal{F})$上的所有广义实值可测函数构成的集合。
• ${\overline{\mathcal{L}}}^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$表示$(\Omega ,\mathcal{F})$上的所有非负广义实值可测函数构成的集合。
• $C(\Omega )$为$(\Omega ,\mathcal{F})$上的所有连续函数构成的集合。定义$\mathcal{B}a:=\sigma ({\bigcup }_{f\in C(\Omega )}{f}^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R})))$，称为Baire $\sigma$-代数。
• $f$为(广义实值)函数，$f^{+}:=f\vee 0,f^{-}:=(-f)\vee 0$
• 设$\{f_n,n\in {\mathbb{N}}^{+}\}$为函数列，则可定义$\{f_n,n\in {\mathbb{N}}^{+}\}$的下确界、上确节、下极限、上极限
  • $({\inf }_{n\ge 1}{f}_n)(\omega ):={\inf }_{n\ge 1}{f}_n(\omega )$
  • $({\sup }_{n\ge 1}{f}_n)(\omega ):={\sup }_{n\ge 1}{f}_n(\omega )$
  • $(\underset{n\ge 1}{\mathrm{liminf}}{f}_n)(\omega ):=\underset{n\ge 1}{\mathrm{liminf}}{f}_n(\omega )$
  • $(\underset{n\ge 1}{\mathrm{limsup}}{f}_n)(\omega ):=\underset{n\ge 1}{\mathrm{limsup}}{f}_n(\omega )$
• 简单可测函数： 设$(\Omega ,\mathcal{F})$为可测空间，$A_1,A_2,\cdots ,A_n\in \mathcal{F}$ 是$\Omega$的一个划分，$a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \mathbb{R}$，则称函数$f:\Omega \to \mathbb{R},f={\sum }_{i=1}^n{a}_i{I}_{A_i}$为简单可测函数。所有的简单可测函数记作$S(\Omega ,\mathcal{F})$，所有的非负简单可测函数记作$S^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$。

性质

1. 设$(\Omega ,\rho )$为度量空间，则$\mathcal{B}a(\Omega )=\mathcal{B}(\Omega )$
2. 可测函数的判别方法：$f\in \mathcal{L}(\Omega ,\mathcal{F})$等价于下列条件之一：
   • $\forall b\in \mathbb{R},\{f<b\}\in \mathcal{F}$
   • $\forall b\in \mathbb{R},\{f\le b\}\in \mathcal{F}$
   • $\forall a\in \mathbb{R},\{f>a\}\in \mathcal{F}$
   • $\forall a\in \mathbb{R},\{f\ge a\}\in \mathcal{F}$
3. 广义实值可测函数的判别方法：$f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$等价于下列条件之一：
   • $\forall b\in \mathbb{R},\{f<b\}\in \mathcal{F}$
   • $\forall b\in \mathbb{R},\{f\le b\}\in \mathcal{F}$
   • $\forall a\in \mathbb{R},\{f>a\}\in \mathcal{F}$
   • $\forall a\in \mathbb{R},\{f\ge a\}\in \mathcal{F}$
4. 常值函数是(广义实值)可测函数
5. 可测函数的基本性质：
   • $f,g\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$，则$\{f<g\},\{f=g\},\{f\le g\}\in \mathcal{F}$
   • $f,g\in \mathcal{L}(\Omega ,\mathcal{F}),\lambda \in \mathbb{R}$,则$\lambda f,f+g,fg,f/g\in \mathcal{L}(\Omega ,\mathcal{F})$
   • $f,g\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$,则$f\vee g,f\wedge g\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$
   • $f,g\in \mathcal{L}(\Omega ,\mathcal{F})$,则$f\vee g,f\wedge g\in \mathcal{L}(\Omega ,\mathcal{F})$
6. 可测函数极限的性质
   • $f\in \mathcal{L}(\Omega ,\mathcal{F})⟺f^{+},f^{-}\in \mathcal{L}(\Omega ,\mathcal{F})⟹|f|\in \mathcal{L}(\Omega ,\mathcal{F})$
   • $f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})⟺f^{+},f^{-}\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})⟹|f|\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$
   • 设$\{f_n,n\ge 1\}\subseteq \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$，则${\inf }_{n\ge 1}{f}_n,{\sup }_{n\ge 1}{f}_n,\underset{n\ge 1}{\mathrm{liminf}}{f}_n,\underset{n\ge 1}{\mathrm{limsup}}{f}_n\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$
7. 向量值可测函数
   • $\mathbf{f}\in \mathcal{F}/\mathcal{B}({\mathbb{R}}^d)⟺f_i\in \mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R}),\forall i\in [d]$
8. 复值可测函数
   • $\mathbf{f}:\Omega \to \mathbb{C}$,$\mathbf{f}=Re\mathbf{f}+iIm\mathbf{f}$, 则$f\in \mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{C})⟺Re\mathbf{f},Im\mathbf{f}\in \mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$
9. 简单可测函数加减仍为简单可测函数
   • $f,g\in S(\Omega ,\mathcal{F})⟹f+g\in S(\Omega ,\mathcal{F})$
10. 设$(\Omega ,\mathcal{F})$为可测空间，$f:\Omega \to \overline{\mathbb{R}}$,则：
    • 若$f$非负可测，则存在$\{f_n,n\ge 1\}\subseteq S^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$，使得$f_n\uparrow f$
    • $f$可测$⟺$存在$\{f_n,n\ge 1\}\subseteq S(\Omega ,\mathcal{F})$，使得$f_n\to f$
11. 设$\varphi \in \sigma (f)/\mathcal{B}(\mathbb{R})⟺\exists g\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F}),s.t.\varphi =g\circ f$
12. 函数形式的单调类定理：$f$为实值函数或有界
    • 设$\mathcal{E}$为$\Omega$上的一个$\pi$类，$\mathcal{H}$为$\mathcal{E}$上的一个由实值函数构成的线性空间，且满足
      
      1. $1\in \mathcal{H}$
      2. $(f_n\in H,n\ge 1,0\le f_n\uparrow f)⟹f\in H$
         
      3. $\forall A\in \mathcal{E},I_A\in H$
         则$\mathcal{H}$包含所有$\sigma (\mathcal{E})$-可测的实值或有界函数.