集类

Prerequisites

• 拓扑空间

定义

以下$\mathcal{E}$ 是$\Omega$ 上的集类(class of sets)

• 称$\mathcal{E}$为$\Omega$上的$\pi$类，若$\mathcal{E}$ 对有限交运算封闭。

• 称$\mathcal{E}$为$\Omega$上的半环(semi-ring),若 1）$\varnothing \in \mathcal{E}$，2）$\mathcal{E}$ 是$\pi$类，3）$\mathcal{E}$ 中任意两元素之差能表示成$\mathcal{E}$中元素的有限不交并

• 称$\mathcal{E}$是$\Omega$上的一个半代数 (semi-algebra), 若$\mathcal{E}$ 是半环，且$\Omega \in \mathcal{E}$

• 称$\mathcal{E}$是$\Omega$上的一个代数 (algebra), 若 1）$\Omega (\varnothing )\in \mathcal{E}$，2)$\mathcal{E}$ 对补运算封闭，3)$\mathcal{E}$ 对有限并(交)运算封闭

• 称$\mathcal{E}$是$\Omega$上的$\sigma$代数(sigma-algebra), 若 1）$\Omega (\varnothing )\in \mathcal{E}$，2)$\mathcal{E}$ 对补运算封闭，3)$\mathcal{E}$ 对(至多)可数并运算封闭

• 称$\mathcal{E}$是单调类(monotone class), 若$\mathcal{E}$ 对单调上升序列的极限封闭,又对单调下降序列的极限封闭

• 称$\mathcal{E}$是$\lambda$类(lambda class), 若 1）$\Omega \in \mathcal{E}$，2）$\mathcal{E}$ 对真差封闭，3）$\mathcal{E}$ 对单调上升序列的极限封闭

• 称$(\Omega ,\mathcal{E})$为可测空间(measurable space), 若$\mathcal{E}$是$\Omega$上的$\sigma$代数

• 称$\sigma (\tau )$ 为 $X$上的 Borel $\sigma$代数，若$\tau$为拓扑空间$(X,\tau )$的拓扑,称其中的元素 Borel 集

• 称$(X,\sigma (\tau ),\tau )$为 可测拓扑空间，若$\sigma (\tau )$为$X$上的 Borel $\sigma$代数，$\tau$为$X$上的拓扑, $\sigma (\tau )$也被记作$\mathcal{B}(X)$

性质

1. 设$\mathcal{E}$为半环, 若$A_1,A_2,\cdots ,A_n,B_1,B_2,\cdots ,B_m\in \mathcal{E}$，则${\bigcup }_{i=1}^n{A}_i$和$\left({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i\right)\setminus \left({\bigcup }_{j=1}^m{B}_j\right)$ 都可以表示成$\mathcal{E}$中元素的有限不交并
2. 若$F$是代数，则以下四个命题等价：1）$F$是$\sigma$代数，2）$F$对单调下降序列的极限封闭，3）$F$对单调上升序列的极限封闭，4）$F$对可列(可数)不交并封闭
3. $\sigma$代数$=$ 代数 $+$ 单调类
4. $\sigma$代数$=$ $\pi$类 $+$ $\lambda$类
5. 有限集上的代数是$\sigma$代数
6. 若一族集类$X=\{{\mathcal{A}}_t,t\in T{A}_t\text{对}\Delta \text{封闭}\}$,$\Delta$为某种运算，则${\bigcap }_{t\in T}{\mathcal{A}}_t$也对$\Delta$封闭
7. 对任意非空集类$\mathcal{E}$，存在一个最小的包含$\mathcal{E}$的$\sigma$代数$\sigma (\mathcal{E})$，称$\sigma (\mathcal{E})$为由$\mathcal{E}$生成的$\sigma$代数，$\Omega$为$\sigma (\mathcal{E})$的生成元
8. 单调类定理：若$\mathcal{E}$为代数，则$\mathcal{M}(\mathcal{E})=\sigma (\mathcal{E})$，即由代数生成的单调类与$\sigma$代数相等
9. $\pi -\lambda$定理：若$\mathcal{E}$为$\pi$类，则$\lambda (\mathcal{E})=\sigma (\mathcal{E})$，即由$\pi$类生成的$\lambda$类与$\sigma$代数相等
10. 单调类方法论：设$\mathcal{E},\mathcal{A}$为两个集类，且$\mathcal{E}\subseteq \mathcal{A}$，若$\mathcal{E}$为代数，$\mathcal{A}$为单调类，则$\sigma (\mathcal{E})\subseteq \mathcal{A}$
11. $\pi -\lambda$方法论：设$\mathcal{E}$为$\pi$类，$\mathcal{A}$为$\lambda$类，且$\mathcal{E}\subseteq \mathcal{A}$，则$\sigma (\mathcal{E})\subseteq \mathcal{A}$
12. 设$f:\Omega \to E$,$\mathcal{E}$为$E$上的非空集类，记$f^{-1}(\mathcal{E})=\{f^{-1}(A):A\in \mathcal{E}\}$，若$\mathcal{E}$为$\sigma$代数，则$f^{-1}(\mathcal{E})$为$\sigma$代数。
13. $f^{-1}(\sigma (\mathcal{E}))=\sigma (f^{-1}(\mathcal{E}))$
14. 第二可数空间中$(X,\tau )$，$\mathcal{B}$为$\tau$的基,$\mathcal{S}$为$\tau$的子基，则$\sigma (\tau )=\sigma (\mathcal{S})=\sigma (\mathcal{B})$
15. 设$\mathcal{F}$为$\Omega$上的$\sigma$代数，${\Omega }_0$是$\Omega$的一个子集，则${\Omega }_0\cap \mathcal{F}=\{A\cap {\Omega }_0:A\in \mathcal{F}\}$为${\Omega }_0$上的$\sigma$代数。
16. 设$\varnothing \ne {\Omega }_0\subseteq \Omega$, $\mathcal{E}$为$\Omega$上一集类，则${\sigma }_{{\Omega }_0}({\Omega }_0\cap \mathcal{E})={\Omega }_0\cap {\sigma }_{\Omega }(\mathcal{E})$