拓扑空间

前置

• 朴素集合论(代理)
• zorn_lemma

定义

graph TD

A[集合] -->|拓扑结构| B[拓扑空间]
B -->|元素| C[开集]
C -->|补集| E[闭集]
C --> F[邻域]
F --> I[邻域基]
I -->|至多可数邻域基| J[第一可数空间]
C -->|完美覆盖任意开集| K[基]
K -->|有限交为基| L[子基]
K -->|至多可数基| M[第二可数空间]
E -->|最小闭集| N[闭包]
N -->|可数稠密子集| O[可分空间]
C -->|不交开集分离| P[豪斯多夫空间<br>（T2空间）]
C -->|开集分离| Q[T1空间<br>（可及空间）]
F --> R[聚点]
R -->|all| S[导集]

• 称$(X,\tau )$为一个拓扑空间，若其满足以下性质，其中$X$ 是一个集合，$\tau$ 是 $X$ 的子集族：

1. $\varnothing ,X\in \tau$
2. $\tau$中元素任意并仍在$\tau$中
3. $\tau$中元素有限交仍在$\tau$中

• 称$U$为$X$的开集(open set)，若$X$的子集$U$满足$U\in \tau$

• 称$F$为$X$的闭集，若$X$的子集$F$满足$(X\setminus F)\in \tau$

• 称$U$ 是 $x$ 的邻域(neighborhood)，若存在开集 $V$ 使得 $x\in V\subseteq U$

• 称${\mathcal{N}}_x$是$x$的邻域系(neighborhood system)，若${\mathcal{N}}_x$是$x$的所有邻域构成的集合

• 称$x$为$A$的内点(interior point)，若存在开集$U$使得$x\in U\subseteq A$

• 称$A^o$为$A$的内部(interior)，若$A^o=\{x\in X\mid x\text{是}A\text{的内点}\}$

• 称$(A^c{)}^o$为$A$的外部(exterior)

• 称$\partial A$为$A$的边界(boundary)，若$\partial A=X\setminus (A\cup (A^c{)}^o)$

• 称$x$为$A\subseteq X$的聚点(accumulation point)(也称为极限点)，若$x$的任意邻域都含有$A$中异于$x$的点，即$\forall U\in {\mathcal{N}}_x,A\setminus \{x\}\bigcap N\ne \varnothing$

• 称$x$为$A$的孤立点(isolated point)，若$\exists U\in {\mathcal{N}}_x,U\cap A=\{x\}$

• 称$A^d$为$A$的导集(derived set)，若$A^d=\{x\in X\mid x$为$A$的聚点$\}$

• 称$\overline{A}$为$A$的闭包(closure)，若$\overline{A}=\bigcap \{F\subseteq X\mid F\text{是包含}A\text{的闭集}\}$，即包含 $A$ 的最小闭集。闭包里的点被称作$A$的附着点(adherent point)

• 称$\mathcal{B}\subseteq \tau$ 是拓扑空间$X$的基(base), 若$\forall U\in \tau ,\exists {\mathcal{B}}_U\subseteq \mathcal{B}$ 使得 $U=\bigcup {\mathcal{B}}_U$

• 称$\mathcal{S}$ 是拓扑空间$X$的子基(subbase)，若$\mathcal{S}$的有限交集族是$X$的基

• 称$\{x_n{\}}_{n=1}^{\infty }$收敛到$x$，若对于任意$x$的邻域$U$，存在$N$，使得$x_n\in U,\forall n\ge N$

• 称${\mathcal{B}}_x\subseteq {\mathcal{N}}_x$是$x$的邻域基(neighborhood base)，若$\forall N\in {\mathcal{N}}_x,\exists V\in {\mathcal{B}}_x$ 使得 $V\subseteq N$

• 称$X$为第一可数空间(first countable space)，若对于$X$的每个点，都存在一个至多可数的邻域基

• 称$X$为第二可数空间(second countable space)，若$X$的拓扑空间有可数基

• 称$B$在$A$中稠密(dense)，若$A\subseteq \overline{B}$，即$A$中每一点的任意邻域中都有$B$中的点

• 称$X$为可分(separable)空间，若$X$存在一个至多可数的稠密子集。

• 称$X$为豪斯多夫空间(Hausdorff space)，又称分离空间或$T_2$空间（separated space or $T_2$ space），若$X$中任意两点$x,y$，存在$x$的开集$U$和$y$的开集$V$，使得$x\in U,y\in V,U\cap V=\varnothing$

• 称$X$为$T_1$空间，又称为可及空间(accessible space)，若$X$中任意两点$x,y$，存在$x$的开集$U$和$y$的开集$V$，使得$x\in U,y\notin U,y\in V,x\notin V$，即任意两点可分离 (这里不要求两个开集不相交，只是单向排除对方。)

• 称$X$为正规空间(normal space)，若$X$中任意两个不交闭集$A,B$，存在不交开集$U,V$，使得$A\subseteq U,B\subseteq V$，即$A\cap B=\varnothing$

性质

1. $U$ 是开集的等价定义 $⟺$ 对于任意$x\in U$,$U$ 是 $x$ 的邻域
2. $\mathcal{B}$ 是基 $⟺$ 对于任意$x\in U\in \tau$，存在$B\in \mathcal{B}$，使得$x\in B\subseteq U$
3. $\overline{A}=A\cup A^d$
4. 第一可数空间中有序列收敛到$x$ $⟺$ $x$ 为聚点。
5. 若$X$为非空集合，$B\subseteq X$，如果$\mathcal{B}$是$B$的$X$上的某个拓扑的基，则 1)${\bigcup }_{B\in \mathcal{B}}B=X$，2)$\forall B_1,B_2\in \mathcal{B}$，$x\in B_1\cap B_2\Rightarrow \exists B_3\in \mathcal{B}$，使得$x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$. 如果$\mathcal{E}$满足性质 1)和 2),则存在唯一拓扑$\tau =\{G\subseteq X\mid \exists {\mathcal{E}}_G\subseteq \mathcal{E},G=\bigcup {\mathcal{E}}_G\}$以$\mathcal{E}$为基。
6. 若$X$为非空集合，$\mathcal{S}\subseteq \mathcal{P}(X)\wedge X={\bigcup }_{S\in \mathcal{S}}S$，则存在唯一拓扑以 $\mathcal{S}$ 为子基。
7. 若$X$为第一可数空间，则$x\in X^d⟺A\backslash \{x\}$中有序列收敛于$x$
8. $N\in {\mathcal{N}}_x⟺\exists N_1\in {\mathcal{N}}_x,N_1\subseteq N$
9. 第二可数空间都是第一可数空间
10. 第二可数空间都是可分空间
11. 拓扑空间$X$为$T_1$空间 $⟺$ $X$的任意单点集为闭集。
12. $T_1$空间中，$A\subseteq X,x\in A^d⟺\forall U\in {\mathcal{N}}_x,U\cap A\text{是无限集}$
13. 拓扑空间为 Hausdorff 空间 $⟺$ 对角线$\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$为闭集
14. Hausdorff 空间中极限唯一
15. 第二可数空间的任何基都存在一个子集为可数基
16. $x\in \overline{A}⟺\forall U\in {\mathcal{N}}_x,U\cap A\ne \varnothing$
17. $\overline{A}:=A\cup \partial A$