Lebesgue 积分（L积分）

本节恒设$(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$为给定的测度空间，所有函数都是定义在$\Omega$上，广义实值函数。

本节的积分都表示$L$积分

两个广义实数 $a,b\in \overline{\mathbb{R}}$ 相加有意义（良定义），当且仅当不同时一个为 $+\infty$、另一个为 $-\infty$。

前置

• 几乎处处收敛和依测度收敛

非负简单可测函数的$L$积分

设$f={\sum }_{i=1}^n{a}_i{I}_{A_i}\in S^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$, 称广义实数${\sum }_{i=1}^n{a}_i\mu (A_i)$为$f$的L积分，记作$\int fd\mu$或$\mu (f)$。

$\int fd\mu$与$f$的表示形式无关。

设$f,g\in S^{+}(\Omega ,\mathcal{F}),\lambda \in {\mathbb{R}}^{\ast }$，则

1. $\int \lambda fd\mu =\lambda \int fd\mu$
2. $\int (f+g)d\mu =\int fd\mu +\int gd\mu$
3. $f\le g⟹\int fd\mu \le \int gd\mu$

设$\{f,f_n,g_n,n\ge 1\}\subseteq S^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$，则

1. $f_n\uparrow f\wedge \underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\ge f⟹\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_{n}d\mu \ge \int fd\mu$
2. $f_n\uparrow f,g_n\uparrow g,\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{g}_n⟹\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_{n}d\mu =\underset{n\to \infty }{\lim }\int g_{n}d\mu$

非负可测函数的$L$积分

设$f\in {\overline{\mathcal{L}}}^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$，对任意满足$f_n\uparrow f$的$\{f_n,n\ge 1\}\subseteq S^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$，令

$$\int fd\mu :=\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_{n}d\mu$$

知：$\int fd\mu$与$\{f_n\}$的选择无关。

设$f,g\in {\overline{\mathcal{L}}}^{+}(\Omega ,\mathcal{F}),\lambda \in {\mathbb{R}}^{\ast }$，则

1. $\int \lambda fd\mu =\lambda \int fd\mu$
2. $\int (f+g)d\mu =\int fd\mu +\int gd\mu$
3. $f\le g⟹\int fd\mu \le \int gd\mu$

设$f\in {\overline{\mathcal{L}}}^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$，令$A_t=\{f\ge t\}$,则$\mu (A_t)\le \frac{1}{t}\int f{I}_{A_t}d\mu \le \frac{1}{t}\int fd\mu ,\forall t\in {\mathbb{R}}^{+}$。

Note

另一种版本的定义: 设 $f\in {\overline{\mathcal{L}}}^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$, 则
$\int f\mathrm{d}\mu =\sup \left\{\int g\mathrm{d}\mu :0⩽g⩽f,g\text{ 为简单可测函数}\right\}.$

一般可测函数的$L$积分

设$f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$，若$f^{+},f^{-}$至少有一个的积分不是$+\infty$，则称$f$的$L$积分存在(即，不出现$\infty -\infty$的无意义情况)，并规定$f$的积分为

$$\int fd\mu :=\int f^{+}d\mu -\int f^{-}d\mu$$

若$\int f$为实数(即，有限)，则称$f$可积（L可积）。

知：$f$可积$⟺|f|$可积。

复值可测函数的$L$积分

设$\mathbf{f}$为复值可测函数，若$Re\mathbf{f},Im\mathbf{f}$都可积，则称复值可测函数$\mathbf{f}$的L可积，并规定$\mathbf{f}$的积分为

$$\int \mathbf{f}d\mu :=\int Re\mathbf{f}d\mu +i\int Im\mathbf{f}d\mu$$

$\mathbf{f}$可积 $⟺$ $Re\mathbf{f},Im\mathbf{f}$都可积$⟺|\mathbf{f}|$可积。

数学期望和方差

设$X$为概率空间$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上的r.v., 若$X$关于$P$可积，则称$X$的数学期望存在，并且称$EX={\int }_{\Omega }XdP$为$X$的数学期望。简称期望。

显然$EX$存在的充要条件是$E|X|<+\infty$。

（因为设$f,g\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$，且$f=g$ a.e., 则$\int fd\mu =\int gd\mu$.）当仅涉及积分问题时， a.e. 相等的函数可以不加区别，从而被积函数可以是 a.e. 可测的广义实值函数.

设 $f$ 是 a.e. 可测的广义实值函数， $A\in \mathcal{F}$， 若 $\int f{I}_{A}d\mu$ 的积分存在(相应地，可积)，则称 $f$ 在 $A$ 上的积分存在(相应地，可积)，且规定 $f$ 在 $A$ 上的积分为${\int }_{A}fd\mu$。

Lebesgue 积分的性质

1. 非负可测函数的L积分存在
2. 设$f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$，则$|f|$的积分存在，并且$|\int fd\mu |\le \int |f|d\mu$
3. 设$f,g\in {\overline{\mathcal{L}}}^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$，且$f=g$ a.e., 则$\int fd\mu =\int gd\mu$
4. 设$f,g\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$，且$f=g$ a.e., 则$f,g$中其中一个积存存在，另一个积分也存在，并且$\int fd\mu =\int gd\mu$.
5. 设 $f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ ， $A$ 为零测集，则 ${\int }_{A}fd\mu =0$.
6. 设 $f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ 的积分存在，则
7. $f$可积 $⟹$ $|f|<+\infty$ a.e.
8. $\int |f|d\mu =0⟹f=0$ a.e.
9. $(\forall A\in \mathcal{F},{\int }_{A}fd\mu \ge 0)⟹f\ge 0$ a.e.
10. 设$f,g$为广义实值函数，且$f+g$有定义，则$(f+g{)}^{+}\le f^{+}+g^{+},(f+g{)}^{-}\le f^{-}+g^{-}$
11. 设$f,g\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ 的积分都存在，则
    • （齐次性 homogeneity）$\int cfd\mu =c\int fd\mu ,\forall c\in \mathbb{R}$
    • （线性性 linearity）若$\int fd\mu +\int gd\mu$有意义， 则 $f+g$ a.e. 有定义，且$f+g$的积分存在，且$\int (f+g)d\mu =\int fd\mu +\int gd\mu$
    • （单调性 monotonicity）若$f\le g$ a.e.，则$\int fd\mu \le \int gd\mu$
12. $\int 1d\mu =\mu (\Omega )$
13. 若实值函数$f$能表示成$f={\sum }_{i=1}^{\infty }{a}_i{I}_{A_i}$的形式，其中$a_i\in \mathbb{R}$，$\{A_i,i\ge 1\}⊊\mathcal{F}$为$\Omega$的一个划分，那么称$f$为初等函数。有以下三个结论
    • $f$是可测函数
    • 若$f$的积分存在，则$\int fd\mu ={\sum }_{i=1}^{\infty }{a}_i\mu (A_i)$
    • $f$可积 等价于 ${\sum }_{i=1}^{\infty }|a_i|\mu (A_i)<+\infty$
14. 设$f$为a.e. 有限的广义实值可测函数，且$\mu$为有限测度，则以下三条等价
    • $f$可积
    • ${\sum }_{i=1}^{\infty }n\mu (n\le |f|<n+1)<+\infty$
    • ${\sum }_{i=1}^{\infty }\mu (|f|\ge n)<+\infty$
15. 若设$f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ 的积分存在，且恒非负（或恒非正），$c\in \overline{\mathbb{R}}$,则$cf$积分存在，且$\int cf=c\int f$
16. $A\in \mathcal{F},\int I_A=\mu (A)$
17. 若简单可测函数 $f={\sum }_{i=1}^n{a}_i{I}_{A_i}$ 的积分存在, 则 $\int f\mathrm{d}\mu ={\sum }_{i=1}^n{a}_i\mu (A_i)$.
18. 设 $f={\sum }_{i=1}^n{a}_i{I}_{A_i}$，$a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \overline{\mathbb{R}}$，$\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}\subset \mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 的有限划分. 若 $f$ 的积分存在，则 $\int f\mathrm{d}\mu ={\sum }_{i=1}^n{a}_i\mu (A_i)$.
19. 如果实值函数 $f$ 能够表示成
    $f={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{I}_{A_n}$
    的形式，其中 $a_1,a_2,\cdots \in \mathbb{R}$，$\{A_n,n\ge 1\}\subset \mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 的可数划分，那么称 $f$ 为初等函数. 则：
    (1) $f$ 是可测函数；
    (2) 若 $f$ 的积分存在，则 $\int f\mathrm{d}\mu ={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\mu (A_n)$；
    (3) $f$ 可积当且仅当 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|\mu (A_n)<\infty$.
20. 积分存在可以传递到任意可测子集：若 ${\int }_{\Omega }fd\mu$ 存在，则对任意 $A\in \mathcal{F}$，${\int }_{A}fd\mu$ 也存在。
21. 可积性也可以传递到任意可测子集：若 $f$ 在 $\Omega$ 上可积，则对任意 $A\in \mathcal{F}$，$f$ 在 $A$ 上也可积。
22. 设 $f,g\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ 关于 $\mu$ 的积分都存在, 且对一切 $A\in \mathcal{F}$ 都有 ${\int }_{A}f\mathrm{d}\mu ⩽{\int }_{A}g\mathrm{d}\mu$.
    (1) 若 $f,g$ 都可积, 则 $f⩽g\text{ a.e.}$;
    (2) 若 $\mu$ 为 $\sigma$-有限测度, 则 $f⩽g\text{ a.e.}$.
23. 设广义实值函数 $f,g$ 的积分都存在, 且对一切 $A\in \mathcal{F}$ 都有 ${\int }_{A}f\mathrm{d}\mu ={\int }_{A}g\mathrm{d}\mu$.则
    (1) 若 $f,g$ 都可积, 则 $f=g\text{ a.e.}$;
    (2) 若 $\mu$ 为 $\sigma$-有限测度, 则 $f=g\text{ a.e.}$.