度量空间

Prerequisites

• real-number
• 点集拓扑(代理)

定义

定义图中，若从”集合”出发的两条有向路径到达同一个结点，则表示两种定义方式等价。

graph TD

IEB[内部，外部，边界]
集合 -- 度量公理 --> 度量空间
度量空间 --> 收敛
收敛 --> 极限点
收敛 --> 孤立点
收敛 --> cauchy列 --E中的cauchy列收敛到E中 --> 完备集
收敛 --> 收敛子列 --> 紧集
度量空间 --> 附着点 --> 闭包 -- E=E的闭包 --> 闭集 -- 不含孤立点-->完美集
度量空间 --> 开球 --> IEB
IEB -- 边界含于集合 --> 闭集
IEB -- 闭包:=内部并边界 --> 闭包
IEB -- 集合等于集合的内部 --> 开集
开集 <-- 互为补集 --> 闭集
开集 --> 连通集
开集 -- 有限开覆盖 --> 紧集

• 在集合$X$上定义一个函数$d:X\times X\to R^{+}$,满足以下条件，则称$d$为$X$上的度量，$(X,d)$为度量空间。
• 正定性：$d(x,y)\ge 0$, and $d(x,y)=0⟺x=y$
• 对称性：$d(x,y)=d(y,x)$
• 三角不等式：$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$
• $\forall x\in X,\forall r>0$,可定义开球 $B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$
• $x\in E\subseteq X$,称$x$是$E$的内点，若存在$r>0$,使得$B(x,r)\subseteq E$
• 称$A^{\circ }$为$A$的内部，若$A^{\circ }$为$A$的所有内点的构成的集合
• 称$A$为开集，若$A=A^{\circ }$

可验证通过上述方式定义的开集族满足拓扑空间的定义。

• 称$x_n$为cauchy列，若$\forall ϵ>0,\exists N\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},\forall m,n>N,d(x_m,x_n)<ϵ$

• 称$x_n$收敛，若$\exists x\in X,\forall ϵ>0,\exists N\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},\forall n>N,d(x_n,x)<ϵ$

• 称$E$为完备集，若$E$中的cauchy列都收敛到$E$中

• 称$x\in X$为$E$的极限点，若$\forall r>0,B(x,r)\cap (E\setminus \{x\})\ne \varnothing$

• 称$x\in E$为$E$的孤立点，若$\exists r>0,B(x,r)\cap E=\{x\}$

• 称$E$为完美集，若$E$为不含孤立点的闭集

• 称$\delta >0$为$\mathcal{A}$的 Lebesgue 数(Lebesgue number)，度量空间中，$\mathcal{A}$是$A$的开覆盖，若$A$的任何子集$B$的直径 $d(U)<\delta$，存在$U\in \mathcal{A}$，使得$B\subseteq U$

• 称$B$是$A$的$ϵ$网(epsilon net)，度量空间中，若存在$ϵ>0$使得$A\subseteq {\bigcup }_{b\in B}B(b,ϵ)$

• 称$A$是完全有界的(totally bounded)，度量空间中，若$\forall ϵ>0$，$A$总有有限$ϵ$网，有限集的大小可随$ϵ$变化

• 设$(X,d_X),(Y,d_Y)$为度量空间，$E\subseteq X$，$f:E\to Y$。称$f$在$E$上一致连续，若$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall x,y\in E$，$d_X(x,y)<\delta ⟹d_Y(f(x),f(y))<ϵ$。此处$\delta$只依赖于$ϵ$。

性质

graph TD
紧集 --> 完备集
紧集 --> 有界集
紧集 --> 闭子集紧
紧集 --> 有限交非空则无限交非空
完备集 --> 闭子集是完备集
完备集 --> 闭集

1. ${\mathbb{R}}^n$ 中非空完美集都是不可数集
2. $\mathbb{R}$ 中的连通集等价于区间
3. 紧集上的连续函数一致连续
4. 如果存在正常数 $c,C$ 使得：$c\cdot d_1(x,y)\le d_2(x,y)\le C\cdot d_1(x,y)\forall x,y\in X$ 那么 $d_1$ 和 $d_2$ 诱导相同拓扑。
5. 度量空间中，任何列紧闭集都存在 Lebesgue 数
6. 度量空间中$X$，$A\subseteq X$，$A$完全有界 $⟺$ $A$包含基本子序列(Cauchy sequence)
7. 度量空间中，紧 $⟺$ 列紧闭
8. 若$A$为闭集，则$\partial A\subseteq A$
9. $\overline{A}:=A\cup \partial A$
10. 一致同构保持完备性：若 $f:X\to Y$ 是双射，且 $f$ 和 $f^{-1}$ 都一致连续，则 $X$ 完备 $⟺$ $Y$ 完备。
11. 设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 为度量空间，$E\subseteq X$，$f:E\to Y$。以下三条等价：

• $f$ 是 意义下的连续映射；
• 对每个 $x_0\in E$，$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall x\in E$，$d_X(x,x_0)<\delta ⟹d_Y(f(x),f(x_0))<ϵ$。$\delta$ 可依赖于 $x_0$；若 $x_0$ 是 $E$ 的孤立点，此条件成立；
• 对 $E$ 中任意序列，若 $x_n\to x_0\in E$，则 $f(x_n)\to f(x_0)$。因为度量空间都是第一可数空间。

12. $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$，$A$ 紧 $⟺$ $A$ 是有界闭集。
13. 度量空间中，$A$ 为闭集 $⟺$ $A$ 中收敛序列的极限都属于 $A$。

    proof

    设 $(X,d)$ 为度量空间，$A\subseteq X$。

    设 $A$ 为闭集，$(x_n)\subseteq A$ 且 $x_n\to x$。若 $x\notin A$，则 $X\setminus A$ 为开集且含 $x$，故存在 $r>0$ 使 $B(x,r)\subseteq X\setminus A$。由收敛，存在 $N$ 使 $n>N$ 时 $d(x_n,x)<r$，于是 $x_n\notin A$，矛盾。因此 $x\in A$。这一向只用到开集的补是闭集，以及收敛的定义。

    设 $A$ 中收敛序列的极限都属于 $A$。任取 $x\notin A$。若每个 $B(x,1/n)$ 都与 $A$ 相交，取 $x_n\in A\cap B(x,1/n)$，则 $d(x_n,x)<1/n$，故 $x_n\to x$。由假设 $x\in A$，矛盾。因此存在 $n$ 使 $B(x,1/n)\subseteq X\setminus A$。$x$ 是 $X\setminus A$ 的内点，故 $X\setminus A$ 为开集，$A$ 为闭集。开球 $B(x,1/n)$ 是 $x$ 的可数邻域基，这里用了度量空间是第一可数空间。

14. 设 $A\subseteq \mathbb{R}$ 非空、有界且闭。则 $\sup A\in A$，$\inf A\in A$。
15. 设 $K$ 为紧集，$f:K\to \mathbb{R}$ 连续。则存在 $x_M,x_m\in K$，使得对一切 $x\in K$，$f(x_m)\le f(x)\le f(x_M)$。