随机过程基本概念

前置

• 积空间sigma代数

随机过程与样本路径

设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为概率空间，$(E,\mathcal{E})$ 为可测空间，$T$ 为指标集。若对每个 $t\in T$，映射

$$X_t:(\Omega ,\mathcal{F})⟶(E,\mathcal{E})$$

均可测，则称 $X=(X_t{)}_{t\in T}$ 为取值于 $E$ 的随机过程。$T$ 常取带全序的时间集，如 ${\mathbb{N}}_0$、${\mathbb{R}}_{+}$；定义本身并不要求 $T$ 带有可测结构。

固定 $\omega \in \Omega$ 后，映射

$$t⟼X_t(\omega )$$

称为该过程的一条样本路径（sample path，也称 realization 或 trajectory）。

必须区分下列两种可测性。

1. 坐标可测性：每个固定 $t$ 下的 $X_t:\Omega \to E$ 可测。这正是随机过程定义所要求的条件。
2. 联合可测性：若另给 $T$ 一个 $\sigma$-代数 $\mathcal{T}$，则还可要求 $$(t,\omega )⟼X_t(\omega )$$ 从 $(T\times \Omega ,\mathcal{T}\otimes \mathcal{F})$ 到 $(E,\mathcal{E})$ 可测。

联合可测性蕴含每个坐标 $X_t$ 可测，也蕴含每条样本路径对 $\mathcal{T}$ 可测；反过来，仅有所有坐标可测并不保证联合可测，甚至不保证样本路径关于 $t$ 可测。

需要联合积分、停时或路径正则性时，必须单独验证联合可测性，或选取一个具有相应性质的版本。

路径空间表示

把 $E^T$ 视为所有函数 $x:T\to E$ 的集合，并令

$${\pi }_t:E^T\to E,{\pi }_t(x)=x(t)$$

为坐标投影。路径空间上的积 $\sigma$-代数定义为

$${\mathcal{E}}^{\otimes T}:=\sigma \left({\pi }_t^{-1}(A):t\in T,A\in \mathcal{E}\right).$$

过程可以等价地写成路径随机元

$$X:\Omega \to E^T,X(\omega )=(t\mapsto X_t(\omega )).$$

由于

$$({\pi }_t\circ X)(\omega )=X_t(\omega ),$$

积 $\sigma$-代数的定义立即给出

$$X:(\Omega ,\mathcal{F})\to (E^T,{\mathcal{E}}^{\otimes T})\text{ 可测}⟺X_t\text{ 对每个 }t\in T\text{ 可测}.$$

这里没有使用 $(t,\omega )\mapsto X_t(\omega )$ 的联合可测性；路径随机元可测与联合可测是不同命题。

积 $\sigma$-代数不等于一般意义下的拓扑 Borel 代数

若 $E$ 还是拓扑空间并取 $\mathcal{E}=\mathcal{B}(E)$，则 $E^T$ 可赋予积拓扑。每个坐标投影在积拓扑下连续，因而总有

$$\mathcal{B}(E{)}^{\otimes T}\subseteq \mathcal{B}(E^T).$$

当 $T$ 可数且 $E$ 具有可数拓扑基时，有限坐标柱集形成积拓扑的可数基，于是两者相等。对不可数 $T$，积拓扑的开集可能需要不可数多个柱集的并来表示，而 $\sigma$-代数只对可数并封闭；此时上述包含可能严格。故“路径映射对坐标生成的积 $\sigma$-代数可测”不能擅自替换为“对积拓扑的整个 Borel $\sigma$-代数可测”。

若已知路径落在较小的正则路径空间（例如带一致范数的 $C([0,T],{\mathbb{R}}^d)$），还应在该子空间自己的 Borel $\sigma$-代数上讨论路径律。在常见的可分连续路径空间中，该 Borel $\sigma$-代数由坐标映射生成，但这依赖于可分性与路径正则性，并非任意 $E^T$ 的自动结论。

过程的分布

路径随机元 $X$ 的分布（law，也称概率律）是推前测度

$$\mu :=\mathbb{P}\circ X^{-1}$$

在 $(E^T,{\mathcal{E}}^{\otimes T})$ 上的概率测度。也就是说，对任意 $B\in {\mathcal{E}}^{\otimes T}$，

$$X^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\},\mu (B)=\mathbb{P}\{\omega :X(\omega )\in B\}.$$

给定有限个时刻 $t_1,\dots ,t_n$，随机向量

$$(X_{t_1},\dots ,X_{t_n})$$

的分布称为一个有限维分布。所有有限维分布给出了 $\mu$ 在柱集上的取值；由于柱集生成 ${\mathcal{E}}^{\otimes T}$，它们唯一确定路径律。这个结论仍只涉及坐标生成的积 $\sigma$-代数，不应与更大的拓扑 Borel $\sigma$-代数混同。