伊藤积分

前置

• 布朗运动

问题的提出

给定过滤概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{P})$ 与其上的标准布朗运动 $W$，目标是把

$${\int }_0^T{X}_t\mathrm{d}{W}_t$$

定义成一个随机变量，其中被积过程 $X$ 适应于 $\mathbb{F}$，后文会把它精确化为可预测过程。本文固定 $W$ 为一维标准布朗运动、$W_0=0$、$T>0$，并假设 $\mathbb{F}$ 满足通常条件；$d$ 维情形逐坐标进行。

若 $g$ 是有界变差函数、$f$ 连续，则 Riemann–Stieltjes 积分 ${\int }_0^{T}f\mathrm{d}g$ 存在，且极限与分割的取点方式无关。布朗运动的样本路径几乎必然连续，却几乎必然不是有界变差的（见后文），所以不能逐路径地把 $\int X\mathrm{d}W$ 当作 Riemann–Stieltjes 积分。

即便暂时不管路径正则性，取点也会真实地改变积分值。取 $[0,T]$ 的分割

$$\Pi :0=t_0<t_1<\cdots <t_n=T,\Delta t_i=t_{i+1}-t_i,\Delta W_i=W_{t_{i+1}}-W_{t_i},h=|\Pi |=\underset{i}{\max }\Delta t_i,$$

以 $X_t=W_t$ 为例，右端点 Riemann 和与左端点 Riemann 和之差恰是二次变差：

$$\sum _{i=0}^{n-1}{W}_{t_{i+1}}\Delta W_i-\sum _{i=0}^{n-1}{W}_{t_i}\Delta W_i=\sum _{i=0}^{n-1}(\Delta W_i{)}^2⟶T(h\to 0).$$

这个差并不趋于零，而是趋于 $T$（下一节的 (1) 将证明收敛在 $L^2$ 中成立）：取点不是技术细节，必须写进定义。伊藤（Itô）积分固定取左端点，即用 $t_i$ 时刻已经确定的量去乘随后的增量。这种“不预见未来”的取法，正是后文零均值、等距与鞅性的来源。

下文的路线是：先证明布朗运动的二次变差为 $T$，它既解释了上式右端的 $T$，也说明路径无有界变差；再对分段常值过程用有限和定义积分；最后用等距把定义延拓到一般的可预测过程。读完之后应当能独立算出 ${\int }_0^T{W}_t\mathrm{d}{W}_t$，并说清它与 $\frac{1}{2}{W}_T^2$ 相差的 $-\frac{T}{2}$ 从何而来。

涉及随机变量的等式默认在 $\mathbb{P}$-a.s. 意义下理解：积分首先作为 $L^2(\Omega )$ 中的等价类定义，之后才谈连续版本。

布朗运动的二次变差

命题 设 $W$ 为一维标准布朗运动，$\Pi$ 为 $[0,T]$ 的分割。则当 $h=|\Pi |\to 0$ 时

$$\sum _{i=0}^{n-1}(\Delta W_i{)}^2⟶T\text{in }{L}^2,\text{\hspace{1em}(1)}$$

记作 $[W{]}_T=T$。

证明 由独立增量，$\Delta W_i\sim \mathcal{N}(0,\Delta t_i)$，故 $\mathbb{E}[(\Delta W_i{)}^2]=\Delta t_i$。对 $Z\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$ 有 $\mathbb{E}{Z}^4=3{\sigma }^4$，取 ${\sigma }^2=\Delta t_i$ 得 $\mathbb{E}[(\Delta W_i{)}^4]=3(\Delta t_i{)}^2$，于是

$$\mathrm{Var}((\Delta W_i{)}^2)=\mathbb{E}[(\Delta W_i{)}^4]-(\mathbb{E}[(\Delta W_i{)}^2]{)}^2=3(\Delta t_i{)}^2-(\Delta t_i{)}^2=2(\Delta t_i{)}^2.$$

令 $Y_i=(\Delta W_i{)}^2-\Delta t_i$，则 $\mathbb{E}{Y}_i=0$，且

$$\sum _{i=0}^{n-1}(\Delta W_i{)}^2-T=\sum _{i=0}^{n-1}{Y}_i.$$

$i\ne j$ 时 $\Delta W_i$ 与 $\Delta W_j$ 独立，故 $Y_i$ 与 $Y_j$ 独立，交叉项消失：

$$\mathbb{E}[Y_i{Y}_j]=\mathbb{E}{Y}_i\mathbb{E}{Y}_j=0.$$

对角项给出均方误差

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[{\left(\sum _{i=0}^{n-1}(\Delta W_i{)}^2-T\right)}^2\right]& =\sum _{i=0}^{n-1}\mathbb{E}[Y_i^2]=2\sum _{i=0}^{n-1}(\Delta t_i{)}^2\\ & \le 2h\sum _{i=0}^{n-1}\Delta t_i=2hT⟶0,\end{array}$$

故 (1) 成立。误差上界 $2hT$ 只依赖网格尺寸 $h$，因此收敛对任意满足 $h\to 0$ 的分割列都成立。$\square$

(1) 只给出了布朗运动的二次变差。对一般的连续适应过程，同样的求和未必收敛；能收敛的情形值得单独命名。

定义（二次变差） 设 $M$ 为连续适应过程。若沿 $[0,t]$ 的分割（$h=|\Pi |\to 0$）

$$\sum _i(M_{t_{i+1}}-M_{t_i}{)}^2$$

依概率收敛到一个与分割列无关的极限，就称该极限为 $M$ 在 $[0,t]$ 上的二次变差，记作 $[M{]}_t$。由 (1)，$[W{]}_t=t$。

与光滑函数的对比

决定取点是否有影响的是二次变差。若 $f\in C^1([0,T])$，则 $|\Delta f_i|\le \Vert f^{\prime }{\Vert }_{\infty }\Delta t_i$，于是

$$\sum _{i=0}^{n-1}(\Delta f_i{)}^2\le \Vert f^{\prime }{\Vert }_{\infty }^{2}h\sum _{i=0}^{n-1}\Delta t_i=\Vert f^{\prime }{\Vert }_{\infty }^{2}hT⟶0,$$

时间的二次变差为零；布朗运动的二次变差则留下 $T$。下表对比被积过程取 $f$ 与取 $W$ 的情形。

	光滑函数 $f\in C^1$	布朗运动 $W$
单步增量	$|\Delta f_i|\le \Vert f^{\prime }{\Vert }_{\infty }\Delta t_i$	$\Delta W_i=O_{\mathbb{P}}(\sqrt{\Delta t_i})$
二次变差	$\to 0$	$\to T$
总变差	$\le \Vert f^{\prime }{\Vert }_{\infty }T<\infty$	$\infty$ a.s.
右端点和 $-$ 左端点和	$\to 0$	$\to T$
积分是否依赖取点	否	是

路径不是有界变差的

二次变差为正还说明路径不是有界变差的。若 $W$ 的一条样本路径在 $[0,T]$ 上的总变差为 $V<\infty$，则

$$\sum _{i=0}^{n-1}(\Delta W_i{)}^2\le \underset{i}{\max }|\Delta W_i|\sum _{i=0}^{n-1}|\Delta W_i|\le V\underset{i}{\max }|\Delta W_i|⟶0,$$

因为路径在紧集 $[0,T]$ 上一致连续，保证 ${\max }_i|\Delta W_i|\to 0$。若存在正概率事件 $A$，使 $W$ 在 $A$ 上的路径都有界变差，则在 $A$ 上上述求和沿任意分割趋于 $0$；但 (1) 给出依概率收敛到 $T$，因而存在子列在 $A$ 上几乎必然收敛到 $T$，矛盾。

布朗运动几乎必然处处不可微（经典结果），当然也不是有界变差的；“$\mathrm{d}{W}_t$ 是 $\mathrm{d}t$ 的平方根阶（因而比 $\mathrm{d}t$ 大）、$(\mathrm{d}{W}_t{)}^2$ 与 $\mathrm{d}t$ 同阶”的直觉，正是二次变差的记号化表达。

积分的构造思路

伊藤积分分两步定义：先对分段常值（“简单可预测”）的被积过程用有限和定义，再用等距把定义按 $L^2$ 延拓到一般过程。第一步只用初等代数；第二步需要两件事——简单过程在 $L^2(\mathcal{P}\otimes \mathrm{d}t)$ 中稠密（外部事实），以及等距（保证逼近列是 Cauchy 列）。

从泛函分析的角度看，整个构造是：在一个稠密子空间上定义一个等距线性映射，再用 $L^2(\Omega )$ 的完备性延拓。等距是关键——没有它，逼近列可能根本不收敛。

左端点取法保证系数先于增量确定，由此得到三条基本性质：

• 零均值：$\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t\mathrm{d}{W}_t=0$；
• 鞅性：$M_t={\int }_0^t{X}_s\mathrm{d}{W}_s$ 关于 $\mathbb{F}$ 是鞅；
• 等距：$\mathbb{E}\left[{\left({\int }_0^T{X}_t\mathrm{d}{W}_t\right)}^2\right]=\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t$。

下文逐条证明。全文约定 $\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t={\int }_0^T\mathbb{E}{X}_t^2\mathrm{d}t$：被积函数非负，Tonelli 定理保证两种写法一致。此外照例把 $\mathbb{P}\otimes \mathrm{d}t$-a.e. 相等的过程视为同一元素，于是 $L^2$ 范数才是真正的范数。

简单可预测过程

定义（简单可预测过程） 设 $\Pi$ 为 $[0,T]$ 的分割。若

$$X_t={\xi }_i,t\in (t_i,t_{i+1}],i=0,1,\dots ,n-1,$$

其中每个 ${\xi }_i$ 都是 ${\mathcal{F}}_{t_i}$-可测的平方可积随机变量（$\mathbb{E}{\xi }_i^2<\infty$），则称 $X$ 为关于 $\Pi$ 的简单可预测过程。$t=0$ 处的取值不影响积分，取 ${\mathcal{F}}_0$-可测即可。

它的积分先定义为有限和，而不是极限：

$${\int }_0^T{X}_t\mathrm{d}{W}_t:=\sum _{i=0}^{n-1}{\xi }_i\Delta W_i.\text{\hspace{1em}(2)}$$

例 取 $T=t_2$，$X_t=2$ 于 $(0,t_1]$，$X_t=W_{t_1}$ 于 $(t_1,t_2]$，则

$${\int }_0^{t_2}{X}_t\mathrm{d}{W}_t=2(W_{t_1}-W_0)+W_{t_1}(W_{t_2}-W_{t_1}).$$

两段系数都在对应增量出现之前确定：第二段的 $W_{t_1}$ 是 ${\mathcal{F}}_{t_1}$-可测的。

简单可预测过程左连续且适应，因而可预测：在每个分点 $t_{i+1}$ 处，$X$ 仍取左侧区间上的值 ${\xi }_i$，所以 $X_t$ 只依赖 $t$ 之前的信息。反过来，可预测且 $\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t<\infty$ 的过程可以由这类过程在 $L^2$ 中逼近（见“推广到一般可预测过程”一节）。

关键在“左”：${\xi }_i$ 只用到 $t_i$ 及之前的信息，与随后的增量 $\Delta W_i$ 独立；若允许系数预见增量，零均值与等距都会失效。若把系数换成 ${\mathcal{F}}_{t_{i+1}}$-可测的随机变量（例如 $W_{t_{i+1}}$），系数就可以依赖随后的增量，得到的是右端点型积分（文献中也称 backward 积分）：对 $X_t=f(W_t)$（$f\in C^2$），它等于伊藤积分加 ${\int }_0^T{f}^{\prime }(W_t)\mathrm{d}t$。Stratonovich 积分取中点，见后文。

从离散时间看，(2) 就是鞅变换：${\xi }_i$ 是第 $i$ 轮的“下注额”，$\Delta W_i$ 是第 $i$ 轮的结果，左端点取法等价于“下注额在开奖前确定”。

伊藤等距

命题（伊藤等距） 对简单可预测过程 $X$，

$$\mathbb{E}\left[{\left({\int }_0^T{X}_t\mathrm{d}{W}_t\right)}^2\right]=\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(3)}$$

证明 记 $Y_i={\xi }_i\Delta W_i$，$I_T(X)={\sum }_i{Y}_i$，展开

$$I_T(X{)}^2=\sum _{i=0}^{n-1}{Y}_i^2+\sum _{i\ne j}{Y}_i{Y}_j.$$

交叉项 设 $i<j$，则 $t_{i+1}\le t_j$，故 $Y_i$ 与 ${\xi }_j$ 都是 ${\mathcal{F}}_{t_j}$-可测的，而 $\mathbb{E}[\Delta W_j\mid {\mathcal{F}}_{t_j}]=0$，于是

$$\mathbb{E}[Y_i{Y}_j]=\mathbb{E}[Y_i{\xi }_j\mathbb{E}[\Delta W_j\mid {\mathcal{F}}_{t_j}]]=0.$$

这里不需要 $Y_i$ 与 $Y_j$ 独立，二阶正交就够了。

对角项 $\Delta W_i$ 独立于 ${\mathcal{F}}_{t_i}$，而 ${\xi }_i$ 是 ${\mathcal{F}}_{t_i}$-可测的，故

$$\mathbb{E}[Y_i^2]=\mathbb{E}[{\xi }_i^2\mathbb{E}[(\Delta W_i{)}^2\mid {\mathcal{F}}_{t_i}]]=\mathbb{E}[{\xi }_i^2]\Delta t_i.$$

这里同样不需要假设 ${\xi }_i$ 与 $\Delta W_i$ 独立；只要 ${\xi }_i$ 是 ${\mathcal{F}}_{t_i}$-可测的，且 $\Delta W_i$ 关于 ${\mathcal{F}}_{t_i}$ 的条件一阶矩为零、条件二阶矩为 $\Delta t_i$。合并两项即得 (3)。$\square$

由线性性，(3) 对差也成立：对两个简单可预测过程 $X,Y$，

$$\mathbb{E}\left[\right(I_T(X)-I_T(Y){)}^2]=\mathbb{E}{\int }_0^T(X_t-Y_t{)}^2\mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(4)}$$

又因 $\mathbb{E}{Y}_i=\mathbb{E}[{\xi }_i\mathbb{E}[\Delta W_i\mid {\mathcal{F}}_{t_i}]]=0$，有 $\mathbb{E}[I_T(X)]=0$。

因此 $X\mapsto I_T(X)$ 是从简单可预测过程的空间（模去 $\mathbb{P}\otimes \mathrm{d}t$-a.e. 相等，配 $L^2$ 范数）到 $L^2(\Omega )$ 的等距线性映射：被积过程靠近，积分就在 $L^2(\Omega )$ 中靠近。等距把关于随机变量（积分值）的收敛问题，换成了关于被积过程的收敛问题——后者容易逼近得多。

推广到一般可预测过程

定理（稠密性） 设 $X$ 可预测且

$$\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t<\infty .$$

则存在一列简单可预测过程 $X^{(m)}$ 使

$$\mathbb{E}{\int }_0^T(X_t^{(m)}-X_t{)}^2\mathrm{d}t⟶0(m\to \infty ).$$

由 (4) 与 $L^2(\mathrm{d}t)$ 的三角不等式，$I_T(X^{(m)})$ 是 $L^2(\Omega )$ 中的 Cauchy 列：$m,m^{\prime }\to \infty$ 时

$$\mathbb{E}\left[\right(I_T(X^{(m)})-I_T(X^{(m^{\prime })}){)}^2]=\mathbb{E}{\int }_0^T(X_t^{(m)}-X_t^{(m^{\prime })}{)}^2\mathrm{d}t⟶0.$$

$L^2(\Omega )$ 完备，故极限存在。这就给出了积分的定义。

定义（$L^2$ 伊藤积分）

$${\int }_0^T{X}_t\mathrm{d}{W}_t:=\underset{m\to \infty }{\lim }{I}_T(X^{(m)})\text{in }{L}^2(\Omega ).\text{\hspace{1em}(5)}$$

良定义性 若 ${\tilde{X}}^{(m)}$ 是另一列逼近 $X$ 的简单可预测过程，则由 (4) 与三角不等式，

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[\right(I_T(X^{(m)})-I_T({\tilde{X}}^{(m)}){)}^2]& =\mathbb{E}{\int }_0^T(X_t^{(m)}-{\tilde{X}}_t^{(m)}{)}^2\mathrm{d}t\\ & \le 2\mathbb{E}{\int }_0^T(X_t^{(m)}-X_t{)}^2\mathrm{d}t\\ & +2\mathbb{E}{\int }_0^T({\tilde{X}}_t^{(m)}-X_t{)}^2\mathrm{d}t⟶0,\end{array}$$

两条逼近列给出同一个 $L^2$ 极限，即几乎处处相等的随机变量。故 (5) 只依赖 $X$，不依赖逼近列的选取。

与上限的相容性 对 $0<T^{\prime }\le T$，把 $X$ 截断到 $(0,T^{\prime }]$ 后积分，与直接在 $[0,T^{\prime }]$ 上积分一致：

$${\int }_0^{T^{\prime }}{X}_t\mathrm{d}{W}_t={\int }_0^T{X}_t{1}_{(0,T^{\prime }]}(t)\mathrm{d}{W}_t.$$

在简单可预测过程上两端是同一个有限和；由 (4)，两端都连续依赖于被积过程，故对一般 $X$ 也成立。于是

$$M_t:={\int }_0^t{X}_s\mathrm{d}{W}_s:={\int }_0^T{X}_s{1}_{(0,t]}(s)\mathrm{d}{W}_s,t\in [0,T],$$

对每个固定的 $t$，$M_t$ 都作为一个 $L^2(\Omega )$ 等价类有定义；不同 $t$ 的定义由上述相容性拼接。取连续版本后，$M=(M_t{)}_{t\in [0,T]}$ 才是一条真正路径连续的过程。这一相容性是下一节讨论鞅性的前提。

可预测

“可预测”指关于可预测 $\sigma$-代数可测：

$$\mathcal{P}=\sigma (\{(s,t]\times A:0\le s<t\le T,A\in {\mathcal{F}}_s\}\cup \{\{0\}\times A:A\in {\mathcal{F}}_0\}),$$

它由左连续适应过程生成。简单可预测过程在

$$L^2(\mathcal{P}\otimes \mathrm{d}t)=\left\{X:X\text{ 可预测},\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t<\infty \right\}$$

中稠密。这是构造中唯一的外部输入（测度论中的单调类论证）；后文另需 Doob 极大不等式来取连续版本，其余步骤都是自足的。

可预测比适应更强：左连续适应过程可预测，但一般的适应过程未必可预测。

例 $X_t=W_t$ 不是简单可预测过程（它连续且不取分段常值），但 $W$ 连续适应，故可预测，并且

$$\mathbb{E}{\int }_0^T{W}_t^2\mathrm{d}t={\int }_0^{T}t\mathrm{d}t=\frac{T^2}{2}<\infty ,$$

所以 $W$ 关于自身可积。

收敛是均方意义

(5) 中的极限是 $L^2(\Omega )$ 中的极限，不是逐路径极限：固定 $\omega$ 时相应的 Riemann 和一般并不收敛。适当挑选子列使 ${\sum }_m\mathbb{E}[(I_T(X^{(m)})-I_T(X){)}^2]<\infty$，再由 Borel–Cantelli 可得沿该子列的几乎必然收敛；逐路径结论需要这样的额外论证。

顺带一提（本文不使用）：当 $X$ 的路径连续且适应时，左 Riemann 和实际上在 $[0,T]$ 上依概率一致收敛（ucp）到伊藤积分，但几乎必然收敛仍要靠抽子列。

基本性质

设 $X,Y$ 可预测，且 $\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t<\infty$、$\mathbb{E}{\int }_0^T{Y}_t^2\mathrm{d}t<\infty$。

线性

对 $a,b\in \mathbb{R}$，

$${\int }_0^T(a{X}_t+b{Y}_t)\mathrm{d}{W}_t=a{\int }_0^T{X}_t\mathrm{d}{W}_t+b{\int }_0^T{Y}_t\mathrm{d}{W}_t\mathbb{P}\text{-a.s.}$$

对简单过程这是有限和的性质，而 (5) 中取 $L^2$ 极限保持线性。

零均值与等距

在 (5) 中取极限，

$$\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t\mathrm{d}{W}_t=0,\mathbb{E}\left[{\left({\int }_0^T{X}_t\mathrm{d}{W}_t\right)}^2\right]=\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t,$$

于是 $\mathrm{Var}\left({\int }_0^T{X}_t\mathrm{d}{W}_t\right)=\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t$。

交叉等距

记 $M_T={\int }_0^{T}X\mathrm{d}W$、$N_T={\int }_0^{T}Y\mathrm{d}W$。(3) 对一般的可预测 $X$ 也成立（在 (5) 中取极限），把它用在 $X+Y$ 上再做极化：

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[M_T{N}_T]& =\frac{1}{2}\left(\mathbb{E}[(M_T+N_T{)}^2]-\mathbb{E}[M_T^2]-\mathbb{E}[N_T^2]\right)\\ & =\frac{1}{2}\mathbb{E}{\int }_0^T((X_t+Y_t{)}^2-X_t^2-Y_t^2)\mathrm{d}t=\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t{Y}_t\mathrm{d}t.\end{array}$$

特别地 $\mathrm{Cov}\left({\int }_0^{T}X\mathrm{d}W,{\int }_0^{T}Y\mathrm{d}W\right)=\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t{Y}_t\mathrm{d}t$。这说明 $X\mapsto {\int }_0^{T}X\mathrm{d}W$ 不仅保持范数，也保持内积：它是从 $L^2(\mathcal{P}\otimes \mathrm{d}t)$ 到 $L^2(\Omega )$ 的等距嵌入。

鞅性

令

$$M_t:={\int }_0^t{X}_s\mathrm{d}{W}_s,t\in [0,T],$$

即把 $X$ 截断到 $[0,t]$ 后积分（与上限的相容性见上一节）。由构造，$M_t$ 是 ${\mathcal{F}}_t$-可测的。则 $M$ 关于 $\mathbb{F}$ 是鞅：对简单过程，把 $\Pi$ 在 $s$ 处细分（$X$ 在每个子区间上不变，积分值不变）。细分后，左端点 $\ge s$ 的项满足

$$\mathbb{E}[{\xi }_i\Delta W_i\mid {\mathcal{F}}_s]=\mathbb{E}[{\xi }_i\mathbb{E}[\Delta W_i\mid {\mathcal{F}}_{t_i}]|{\mathcal{F}}_s]=0,$$

右端点 $\le s$ 的项，加上跨过 $s$ 的区间在 $[t_i,s]$ 上的那段，正好组成 $M_s$；而该区间在 $[s,t_{i+1}]$ 上的那段条件期望为零。一般情形由 $L^2$ 逼近（$M_t^{(m)}\to M_t$、$M_s^{(m)}\to M_s$）与条件期望的 $L^2$ 压缩性取极限得到。此外

$$\mathbb{E}[M_t^2]=\mathbb{E}{\int }_0^t{X}_s^2\mathrm{d}s,$$

并且 $M$ 有连续版本（对逼近列用 Doob 极大不等式取一致收敛子列；此后仍记该连续版本为 $M$）。该不等式还给出定量估计

$$\mathbb{E}\left[\underset{0\le t\le T}{\sup }{M}_t^2\right]\le 4\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t,$$

它在 SDE 的存在性证明与误差估计中反复出现。

二次变差

先设 $X$ 为简单可预测过程且有界，$|X|\le C$，$\Pi$ 为其分割。取 $[0,T]$ 的一个分割，使它细化 $\Pi$；细化后的分点为 $s_0<\cdots <s_m$，落在 $[t_i,t_{i+1}]$ 内的子区间下标集合记为 $I_i$，并记 $\Delta W_j=W_{s_{j+1}}-W_{s_j}$。在 $(t_i,t_{i+1}]$ 上 $M_t-M_{t_i}={\xi }_i(W_t-W_{t_i})$，故二次变差的求和可按 $\Pi$ 分块：

$$\sum _j(M_{s_{j+1}}-M_{s_j}{)}^2=\sum _{i=0}^{n-1}{\xi }_i^2\sum _{j\in I_i}(\Delta W_j{)}^2.$$

内层求和是 $W$ 在 $[t_i,t_{i+1}]$ 上的二次变差，由 (1) 在 $L^2$ 中收敛到 $\Delta t_i$；乘以 ${\xi }_i^2$（它与内层求和独立）再对有限个块求和，整个和依概率收敛到 ${\sum }_i{\xi }_i^2\Delta t_i={\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t$。

对不细化 $\Pi$ 的分割，把它在落在区间内部的那些 $t_i$ 处切开（涉及至多 $n$ 个分点），即可化为上面的情形。当 $h$ 小于 $\Pi$ 的最小相邻间距时，每个粗区间至多跨过一个 $t_i$。设跨过 $t_i$ 的粗区间为 $[s_j,s_{j+1}]$，切开后平方项由 $(M_{s_{j+1}}-M_{s_j}{)}^2$ 变成 $a^2+b^2$，其中

$$a=M_{t_i}-M_{s_j},b=M_{s_{j+1}}-M_{t_i}$$

是两段互不重叠区间上的增量，长度记为 $|I|,|J|$；它们分别是 ${\xi }_{i-1}$、${\xi }_i$ 乘以一段布朗增量。$a$ 是 ${\mathcal{F}}_{t_i}$-可测的，而 $\mathbb{E}[b\mid {\mathcal{F}}_{t_i}]=0$，故 $\mathbb{E}[2ab]=0$。又

$$\mathbb{E}|2ab|\le 2C^2\sqrt{|I||J|}\le C^2(|I|+|J|)\le C^{2}h,$$

所以每个这样的区间贡献的 $L^1$ 误差不超过 $C^{2}h$。这样的区间至多 $n$ 个，总差在 $L^1$ 中不超过 $n{C}^{2}h\to 0$。因此极限与分割列的选取无关。

当分割恰为 $\Pi$ 时还能给出显式的 $L^2$ 误差。记

$$Z_i:={\xi }_i^2((\Delta W_i{)}^2-\Delta t_i).$$

由于 ${\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t={\sum }_i{\xi }_i^2\Delta t_i$，有

$$\sum _{i=0}^{n-1}{\xi }_i^2(\Delta W_i{)}^2-{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t=\sum _{i=0}^{n-1}{Z}_i.$$

每个 $Z_i$ 都是 ${\mathcal{F}}_{t_{i+1}}$-可测的，且 $\mathbb{E}[Z_i\mid {\mathcal{F}}_{t_i}]=0$。与等距的证明相同，$j>i$ 时由 $Z_i\in {\mathcal{F}}_{t_j}$ 与 $\mathbb{E}[Z_j\mid {\mathcal{F}}_{t_j}]=0$ 得 $\mathbb{E}[Z_i{Z}_j]=0$，所以平方和只剩对角项。$X$ 有界，故 ${\xi }_i\in L^4$，于是

$$\mathbb{E}[Z_i^2]=\mathbb{E}\left[{\xi }_i^4\right]\mathbb{E}\left[\right((\Delta W_i{)}^2-\Delta t_i{)}^2]=2\mathbb{E}[{\xi }_i^4](\Delta t_i{)}^2,$$

这里用了 ${\xi }_i$ 是 ${\mathcal{F}}_{t_i}$-可测、$\Delta W_i$ 独立于 ${\mathcal{F}}_{t_i}$。于是

$$\mathbb{E}\left[{\left(\sum _{i=0}^{n-1}{Z}_i\right)}^2\right]=\sum _{i=0}^{n-1}\mathbb{E}[Z_i^2]\le 2C^{4}h\sum _{i=0}^{n-1}\Delta t_i=2C^{4}hT⟶0.$$

故 $[M{]}_T={\int }_0^T{X}_s^2\mathrm{d}s$；对每个 $t$ 重复同一论证即得

$$[M{]}_t={\int }_0^t{X}_s^2\mathrm{d}s.$$

一般情形分两步：先用有界可预测过程逼近 $L^2$ 的 $X$，再用简单可预测过程逼近有界可预测过程。每一步的误差 $N^{(m)}=M-M^{(m)}$ 都由等距给出 $\mathbb{E}[(N_T^{(m)}{)}^2]=\mathbb{E}{\int }_0^T(X_t-X_t^{(m)}{)}^2\mathrm{d}t\to 0$，交叉项由 $|[M,N]|\le \sqrt{[M][N]}$ 控制，所以二次变差的求和仍收敛到 ${\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t$。${\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t<\infty$ 几乎必然成立的情形再作停时局部化。

对两个积分 $M=\int X\mathrm{d}W$、$N=\int Y\mathrm{d}W$，极化恒等式给出交叉变差

$$[M,N{]}_t:=\frac{1}{2}([M+N{]}_t-[M{]}_t-[N{]}_t)={\int }_0^t{X}_s{Y}_s\mathrm{d}s,$$

与交叉等距一致。这条性质把二次变差从布朗运动推广到伊藤积分：被积过程 $X$ 决定积分的波动强度。

去掉平方可积条件

本文的构造要求 $\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t<\infty$。若只有 ${\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t<\infty$ 几乎必然成立，可用停时局部化把上述结论逐段拼接，得到的是连续局部鞅而不是鞅；实际使用的 SDE 通常正是在这种局部意义下成立。

确定性被积过程的高斯性

被积过程确定时，积分是高斯随机变量；这不仅给出方差，还直接给出分布。

命题 设 $X$ 不依赖 $\omega$、可测，且 ${\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t<\infty$。则

$${\int }_0^T{X}_t\mathrm{d}{W}_t\sim \mathcal{N}\left(0,{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t\right).$$

方差为 $0$ 时该分布理解为退化分布 ${\delta }_0$。更一般地，对两个确定性被积过程 $X,Y$，

$$\mathrm{Cov}\left({\int }_0^{T}X\mathrm{d}W,{\int }_0^{T}Y\mathrm{d}W\right)={\int }_0^T{X}_t{Y}_t\mathrm{d}t.$$

证明 先设 $X={\sum }_i{c}_i{1}_{(t_i,t_{i+1}]}$ 为分段常值。此时积分为 ${\sum }_i{c}_i\Delta W_i$，是独立正态变量的线性组合，故服从 $\mathcal{N}(0,{\sum }_i{c}_i^2\Delta t_i)$。一般情形取分段常值 $X^{(m)}\to X$ 于 $L^2(\mathrm{d}t)$；由等距，

$$\mathbb{E}\left[{\left({\int }_0^T{X}^{(m)}\mathrm{d}W-{\int }_0^{T}X\mathrm{d}W\right)}^2\right]={\int }_0^T(X_t^{(m)}-X_t{)}^2\mathrm{d}t⟶0,$$

故 $\int X^{(m)}\mathrm{d}W\to \int X\mathrm{d}W$ 于 $L^2$，从而依分布收敛；正态分布的方差收敛时极限仍为正态，方差由等距给出。协方差公式由交叉等距给出。$\square$

例 $X_t=t$ 时

$${\int }_0^{T}t\mathrm{d}{W}_t\sim \mathcal{N}\left(0,\frac{T^3}{3}\right),\mathrm{Cov}\left(W_T,{\int }_0^{T}t\mathrm{d}{W}_t\right)={\int }_0^{T}t\mathrm{d}t=\frac{T^2}{2}.$$

被积过程一旦随机，结论就可能改变：由下一节，${\int }_0^T{W}_t\mathrm{d}{W}_t=\frac{1}{2}(W_T^2-T)$，它不是正态的。

对线性组合重复同一论证可知，任意有限个确定性被积过程的积分与 $W$ 的任意有限维分布都是联合正态的：取共同细化分割，把该向量写成独立增量 $(\Delta W_i)$ 的线性变换，再取 $L^2$ 极限即可。线性 SDE 的解是高斯过程，正源于此，见 线性高斯扩散。

例：$W$ 关于自身的积分

命题

$${\int }_0^T{W}_t\mathrm{d}{W}_t=\frac{1}{2}(W_T^2-T)\mathbb{P}\text{-a.s.}\text{\hspace{1em}(6)}$$

证明 取 $X_t^{(m)}=W_{t_i}$ 于 $(t_i,t_{i+1}]$，它是简单可预测过程，且

$$\mathbb{E}{\int }_0^T(W_t-X_t^{(m)}{)}^2\mathrm{d}t=\sum _{i=0}^{n-1}{\int }_{t_i}^{t_{i+1}}(t-t_i)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\sum _{i=0}^{n-1}(\Delta t_i{)}^2\le \frac{1}{2}hT⟶0,$$

故 $X^{(m)}\to W$ 于 $L^2(\mathcal{P}\otimes \mathrm{d}t)$，从而由 (5)，

$$I_T(X^{(m)})⟶{\int }_0^T{W}_t\mathrm{d}{W}_t\text{in }{L}^2(\Omega ).$$

另一方面，由代数恒等式

$$2W_{t_i}\Delta W_i=W_{t_{i+1}}^2-W_{t_i}^2-(\Delta W_i{)}^2$$

求和得

$$I_T(X^{(m)})=\sum _{i=0}^{n-1}{W}_{t_i}\Delta W_i=\frac{1}{2}\left(W_T^2-W_0^2-\sum _{i=0}^{n-1}(\Delta W_i{)}^2\right).$$

由 $W_0=0$ 与二次变差 (1)，右端在 $L^2$ 中收敛到 $\frac{1}{2}(W_T^2-T)$，与上式比较即得 (6)。$\square$

不同取点给出不同的值

同一个被积过程 $X_t=W_t$，三种取点的结果分别是

$$\begin{array}{rl}\text{左端点（Itoˆ）：}& \frac{1}{2}(W_T^2-T),\\ \text{中点（Stratonovich）：}& \frac{1}{2}{W}_T^2,\\ \text{右端点：}& \frac{1}{2}(W_T^2+T).\end{array}$$

相邻两种取点相差 $\frac{1}{2}[W{]}_T=\frac{1}{2}T$，左右端点相差一个整的 $[W{]}_T=T$，正是二次变差留下的痕迹。取期望后分别是 $0$、$T/2$、$T$：只有左端点的结果零均值，与鞅性质一致。

与 Stratonovich 积分的关系

定义（Stratonovich 积分）

$${\int }_0^T{X}_t\circ \mathrm{d}{W}_t:=\underset{h\to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}\frac{X_{t_i}+X_{t_{i+1}}}{2}\Delta W_i\text{in }{L}^2,$$

被积过程足够正则时该极限存在。对 $X_t=f(W_t)$（$f\in C^2$），两种积分的关系是

$${\int }_0^{T}f(W_t)\circ \mathrm{d}{W}_t={\int }_0^{T}f(W_t)\mathrm{d}{W}_t+\frac{1}{2}{\int }_0^T{f}^{\prime }(W_t)\mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(7)}$$

启发式推导 把中点值展开：

$$\frac{f(W_{t_i})+f(W_{t_{i+1}})}{2}=f(W_{t_i})+\frac{1}{2}{f}^{\prime }(W_{t_i})\Delta W_i+\frac{1}{4}{f}^{\prime \prime }(W_{t_i})(\Delta W_i{)}^2+O((\Delta W_i{)}^3).$$

乘上 $\Delta W_i$ 后，第一项给出伊藤积分，第二项是 $\frac{1}{2}{f}^{\prime }(W_{t_i})(\Delta W_i{)}^2$，由二次变差收敛到 $\frac{1}{2}{\int }_0^T{f}^{\prime }(W_t)\mathrm{d}t$，余项是 ${\sum }_{i}O((\Delta W_i{)}^3)$，其 $L^1$ 范数不超过 $C{\sum }_i(\Delta t_i{)}^{3/2}\le C\sqrt{h}T\to 0$。取 $f(w)=w$ 即得 $\frac{1}{2}{W}_T^2$，与上面的例子一致。

两者没有优劣，只是用途不同：伊藤积分保持零均值与鞅性，等距使 $L^2$ 计算方便，是概率论与 SDE 的标准语言；Stratonovich 积分满足经典链式法则，在坐标变换下形式不变，便于流形上的几何表述，代价是它一般不再是鞅，等距也要换成含协变差的版本。二者由 (7) 中的二次变差项相互转换。

常见误区

1. 把 ${\int }_0^T{W}_t\mathrm{d}{W}_t$ 写成 $\frac{1}{2}{W}_T^2$。 伊藤积分给出 $\frac{1}{2}(W_T^2-T)$，差的 $\frac{1}{2}T$ 是二次变差项；$\frac{1}{2}{W}_T^2$ 属于 Stratonovich 积分。
2. 以为积分可以逐路径计算。 (5) 是 $L^2(\Omega )$ 中的极限，不是固定 $\omega$ 下的 Riemann–Stieltjes 极限。
3. 以为等距需要 ${\xi }_i$ 与 $\Delta W_i$ 独立。 在 ${\xi }_i$ 是 ${\mathcal{F}}_{t_i}$-可测的前提下，只需 $\mathbb{E}[\Delta W_i\mid {\mathcal{F}}_{t_i}]=0$ 与 $\mathbb{E}[(\Delta W_i{)}^2\mid {\mathcal{F}}_{t_i}]=\Delta t_i$；交叉项也不必依赖独立性，二阶正交足够。
4. 把“适应”当成“可预测”。 被积过程必须可预测，适应还不够。例如取 $\tau =\inf \{t\ge 0:W_t=1\}\wedge T$，则 $X_t=1_{[0,\tau )}(t)$ 是适应的，但在 $\tau$ 时刻突然归零，左极限无法预知，因而不可预测；$X_t=W_{t+\epsilon }$（$\epsilon >0$）更不是适应的，自然也不在定义域内。
5. 把 $(\mathrm{d}{W}_t{)}^2=\mathrm{d}t$ 当作代数等式。 它是二次变差 (1) 的简写：${\sum }_i(\Delta W_i{)}^2\to T$ 在 $L^2$ 中成立，而不是逐路径的恒等式。同理 $\mathrm{d}{W}_t\mathrm{d}t$ 是比 $\mathrm{d}t$ 更高阶的小量（即 $o(\mathrm{d}t)$）；这类“随机泰勒展开”的每一项都要回到分割和去验证。
6. 把 $L^2$ 条件当成积分存在的必要条件。 $\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t<\infty$ 只是本构造的要求；若只有 ${\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t<\infty$ 几乎必然成立，停时局部化后积分仍有定义，只是从鞅退化为连续局部鞅。

小结

伊藤积分由三件事拼成：二次变差使取点成为定义的一部分；取左端点保证非预见性（可预测性）；等距把有限和的定义延拓到 $L^2(\mathcal{P}\otimes \mathrm{d}t)$。由此得到的对象零均值、满足等距、作为上限的函数是鞅，但它不是逐路径的 Riemann–Stieltjes 积分。

把主要结论集中如下：

内容	结论
构造	先用 (2) 对简单可预测过程定义积分，再由 (5) 取 $L^2$ 极限
等距	$\mathbb{E}\left[{\left({\int }_0^{T}X\mathrm{d}W\right)}^2\right]=\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t$
交叉等距	$\mathbb{E}\left[\left({\int }_0^{T}X\mathrm{d}W\right)\left({\int }_0^{T}Y\mathrm{d}W\right)\right]=\mathbb{E}{\int }_0^T{X}_t{Y}_t\mathrm{d}t$
鞅性	$M_t={\int }_0^{t}X\mathrm{d}W$ 是鞅，有连续版本，$\mathbb{E}{M}_t=0$
二次变差	$[M{]}_t={\int }_0^t{X}_s^2\mathrm{d}s$
确定性 $X$	${\int }_0^{T}X\mathrm{d}W\sim \mathcal{N}\left(0,{\int }_0^T{X}_t^2\mathrm{d}t\right)$
自身积分	${\int }_0^T{W}_t\mathrm{d}{W}_t=\frac{1}{2}(W_T^2-T)$
Stratonovich	${\int }_0^{T}f\circ \mathrm{d}W={\int }_0^{T}f\mathrm{d}W+\frac{1}{2}{\int }_0^T{f}^{\prime }\mathrm{d}t$

后续

伊藤积分是随机微积分的起点，几处直接延续：

• 伊藤公式：把经典链式法则修正为含 $\frac{1}{2}\int f^{\prime \prime }\mathrm{d}t$ 的版本，用于计算 $\mathrm{d}(X_t{Y}_t)$、求解 SDE；
• SDE 与 Fokker–Planck 方程：由伊藤积分写出的 SDE 决定密度的演化，见 概率演化方程；
• 扩散模型：连续时间扩散模型的推导见 连续时间扩散。