布朗运动

前置

• 鞅

定义

设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为概率空间。${\mathbb{R}}^d$ 值过程 $W=(W_t{)}_{t\ge 0}$ 称为一个标准布朗运动（Wiener 过程），如果：

1. $W_0=0$，几乎处处成立；
2. 样本路径 $t\mapsto W_t$ 几乎处处连续；
3. 对任意有限时间组 $$0\le t_0<t_1<\cdots <t_n,$$ 增量 $$W_{t_1}-W_{t_0},W_{t_2}-W_{t_1},\dots ,W_{t_n}-W_{t_{n-1}}$$ 相互独立；
4. 对 $0\le s<t$， $$W_t-W_s\sim \mathcal{N}(0,(t-s)I_d).$$

一维时最后一式就是

$$W_t-W_s\sim \mathcal{N}(0,t-s),$$

其中 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ 表示均值为 $\mu$、方差为 ${\sigma }^2$ 的正态分布。只要求两段不相交增量两两独立不足以直接表达“独立增量”；定义要求任意有限组不相交增量联合独立。

相对于过滤的布朗运动

在过滤概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{P})$ 上，称 $W$ 是关于 $\mathbb{F}=({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ 的布朗运动，如果：

1. $W$ 适应于 $\mathbb{F}$；
2. 对任意 $0\le s<t$，增量 $W_t-W_s$ 独立于整个 ${\mathcal{F}}_s$；
3. 它满足上面的起点、连续性和高斯增量条件。

第二条比“$W_t-W_s$ 与 $W_s$ 独立”更强：${\mathcal{F}}_s$ 可以包含截至 $s$ 的全部历史和其他观测。布朗运动总是关于其自然过滤

$${\mathcal{F}}_t^W=\sigma (W_u:0\le u\le t)$$

及其通常增广为布朗运动；任意扩大过滤则可能提前泄露未来信息，从而破坏增量对 ${\mathcal{F}}_s$ 的独立性。

高斯协方差表征

标准布朗运动是中心高斯过程，并且

$$\mathbb{E}[W_s{W}_t^{\top }]=\min (s,t)I_d.$$

事实上，若 $s\le t$，则 $W_t=W_s+(W_t-W_s)$，后一个增量与 $W_s$ 独立且均值为零，所以

$$\mathbb{E}[W_s{W}_t^{\top }]=\mathbb{E}[W_s{W}_s^{\top }]=s{I}_d.$$

反过来，若一个中心高斯过程满足

$$\mathrm{Cov}(W_s,W_t)=\min (s,t)I_d,$$

则对不相交时间区间，其增量之间协方差为零；联合高斯性把零协方差提升为联合独立性，而且

$$\mathrm{Cov}(W_t-W_s)=(t-s)I_d.$$

因此再加上 $W_0=0$ 和几乎处处连续的版本，这一协方差公式等价地刻画标准布朗运动。仅有均值与协方差而没有联合高斯性，不能推出独立增量。

鞅、Markov 性与二次变差

鞅

若 $W$ 是关于 $\mathbb{F}$ 的布朗运动，则

$$\mathbb{E}[W_t\mid {\mathcal{F}}_s]=W_s+\mathbb{E}[W_t-W_s\mid {\mathcal{F}}_s]=W_s(s\le t),$$

因为未来增量独立于 ${\mathcal{F}}_s$ 且均值为零。故 $W$ 是 ${\mathbb{R}}^d$ 值鞅。

Markov 性

对任意有界可测函数 $\phi$，

$$\mathbb{E}[\phi (W_t)\mid {\mathcal{F}}_s]={\int }_{{\mathbb{R}}^d}\phi (W_s+y)\mathcal{N}(0,(t-s)I_d)(\mathrm{d}y).$$

右端只依赖当前状态 $W_s$，所以布朗运动是时齐 Markov 过程，其转移核为

$$K_h(x,\mathrm{d}y)=\mathcal{N}(x,h{I}_d)(\mathrm{d}y),h\ge 0.$$

二次变差与交叉变差

取 $[0,t]$ 的分割

$$\Pi =\{0=t_0<t_1<\cdots <t_n=t\},|\Pi |=\underset{k}{\max }(t_k-t_{k-1}).$$

当 $|\Pi |\to 0$ 时，

$$\sum _{k=1}^n(W_{t_k}^i-W_{t_{k-1}}^i)(W_{t_k}^j-W_{t_{k-1}}^j)\stackrel{\mathbb{P}}{\to }{\delta }_{ij}t.$$

因此

$$[W^i,W^j{]}_t={\delta }_{ij}t,[W^i{]}_t=t.$$

这个极限可直接由独立高斯增量验证。$i=j$ 时，和的期望为 $t$，方差为

$$2\sum _k(t_k-t_{k-1}{)}^2\le 2t|\Pi |⟶0.$$

$i\ne j$ 时，和的期望为零，方差为

$$\sum _k(t_k-t_{k-1}{)}^2\le t|\Pi |⟶0.$$

所以收敛在 $L^2$ 中成立，从而也依概率成立。二次变差描述单条随机路径在细分下累积的平方增量，不应与固定两个时刻之间的协方差混淆。