向量空间(赋范向量空间)

前置

• 向量空间
• 域论(带绝对值的域)

3. 度量空间

在集合$X$上定义一个函数$d:X\times X\to R+$,满足以下条件，则称$d$为$X$上的度量，$(X,d)$为度量空间。

• 正定性：$d(x,y)\ge 0$, and $d(x,y)=0⟺x=y$
• 对称性：$d(x,y)=d(y,x)$
• 三角不等式：$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$

4. 赋范线性空间

设 $(F,|\cdot |)$ 是一个带绝对值的域，$V$ 是 $F$ 上的向量空间。若映射

$$\Vert \cdot \Vert :V\to [0,+\infty )$$

满足对任意 $v,w\in V$ 与 $a\in F$：

• 正定性：$\Vert v\Vert =0⟺v=0$；
• 绝对齐次性：$\Vert av\Vert =|a|\Vert v\Vert$；
• 三角不等式：$\Vert v+w\Vert \le \Vert v\Vert +\Vert w\Vert$；

则称 $\Vert \cdot \Vert$ 为 $V$ 上的范数，称 $(V,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋范线性空间。

如果 $V$ 上由范数诱导的度量是完备的，则称 $V$ 是 Banach 空间。

4.1. 赋范线性空间的性质

1. 范数可以诱导度量 $d(v,w)=\Vert v-w\Vert$
2. 赋范线性空间都是度量空间