环论(一)

前置

• 群论(一)

定义

• ring $<R,+,\cdot >$:
  • 加法交换群
  • 乘法半群
  • 乘法对加法有分配律。
• 如果没有额外的说明，$R$ 表示环，$0$ 是 $R$ 的加法单位元，$1$ 是 $R$ 的乘法单位元
• 交换环：环中乘法有交换律
• 交换幺环：交换环且有乘法单位元
• 无零因子环：$a,b\in R,ab=0⟹a=0\vee b=0$
• 整环：非零、无零因子、交换幺环
• 除环：非零、幺环、每一个非 0 元素都有乘法逆元
• 域：交换除环
• 子环：$S\subseteq R$，$S$若$<S,+,\cdot >$是环，则称$S$是$R$的子环，记作$S\le R$
• 幂等律：$a^2=a$, 此时称$a$ 为幂等元
• 主理想：If $R$ is a commutative ring with unity and $a\in R$, the ideal $\{ra|r\in R\}$ of all multiples of $a$ is the principal ideal generated by $⟨a⟩$ and is denoted by $a$. An ideal $N$ of $R$ is a principal ideal if $N=⟨a⟩$ for some $a\in R$.
• 理想：An additive subgroup $I$ of the ring $R$ is an ideal if $\forall a\in I,r\in R,ar\in I\wedge ra\in I$，记作$I◃R$
• 极大理想：称$I◃R$是极大理想，若不存在理想$J◃R$使得$\{0\}\le I<J\le R$
• 单环：称$R$是单环，若不存在理想$I◃R$使得$\{0\}<I<R$
• 素理想：称$I◃R$是素理想，若$I$是$R$的真理想且$ab\in I\to a\in I\vee b\in I$
• 设$n$为自然数，$R$是一个环，$n1:=1+1+\cdots +1$（$n$个$1$相加）。
• 环的特征（charactristic）: 对于环 $R$，如果存在一个最小的非零自然数 $n$，使得对于所有 $a\in R$，都有 $na=0$，则称 $n$ 为环 $R$ 的特征。如果不存在这样的$n$，则称环 $R$ 的特征为 0.

性质

1. $0a=a0=0$
2. $a(-b)=(-a)b=-ab,(-a)(-b)=ab$
3. 一个环的加法单位元等于乘法单位元$⟺R=\{0\}$
4. 子环判定：$S\le R⟺\forall a,b\in S,a-b,ab\in S$
5. 子域判定：$S\le F⟺\forall a,b\in S(a-b\in S\wedge ((b\ne 0)\to a{b}^{-1}\in S))$
6. 环$R$有乘法消去律等价于无零因子
7. 环$R$ 的所有有乘法逆元的元素构成一个群
8. 环有乘法交换律等价于环有平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
9. 给一个交换群，对群中的所有元素规定乘法$ab=0$，那么这个交换群和新规定的乘法构成一个环
10. 环中的乘法逆元是唯一的
11. 子环的交是子环，子域的交是子域
12. 环的乘法单位元不一定等于子环的乘法单位元，域中的乘法单位元等于子域中的乘法单位元。
13. 线性方程组的解$\{x\in R|ax=0\}$是一个 $R$ 的子环
14. 加法群+非 0 元素构成乘法群+乘法对加法有分配律 $⟹$ 除环
15. 如果一个环有幂等律$a^2=a$(将这个环称为 Boolean ring),那么这个环是交换环
16. 一个集合上的幂集+对称差（加法）+交（乘法）$⟹$ Boolean ring