环论(有序环)

为了不丢失信息，不等式尽量使用$<$,而不是$\le$

前置

• 环论(一)

有序环(域)

一个环 $R$ 里存在非空子集 $P$,满足

• $a,b\in P,a+b\in P,ab\in P$
• $a\in p,a=0,-a\in P$有且只有一个成立。

则称 $R$ 是一个有序环，$P$ 是 $R$ 的正元集。

一个有序环上可以定义$a<b:=b-a\in P$

有序环上可定义绝对值

$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$

定义距离$d(x,y)=|x-y|$

偏序性质

1. $a<b,a=b,a>b$有且只有一个成立
2. 如果$a<b$且$b<c$，则$a<c$
3. $b<c$，则 $a+b<a+c$
4. $a\in P,then0<a$
5. $a,b\in P,ac=bd$,那么要么$c=d=0$,要么$cd\in P$
6. $a<b\to -b<-a$
7. $a<0,0<b,\to ab<0$
8. $a>b>0\wedge c>d>0\Rightarrow ac>bd$
9. 如果 $R$ 是域，那么$0<a,0<b\to 0<a/b$
10. 如果 $R$ 是域，那么$0<a<1\to 1<1/a$
11. 如果 $R$ 是域，那么$-1<a<0\to 1/a<-1$
12. 如果 $R$ 是域，那么$0<a<b\to a^{-1}>b^{-1}>0$

绝对值与距离的性质

1. $|x|\ge 0$
2. $|-x|=|x|$
3. $|x|=0⟺x=0$
4. $x<|x|$
5. $|x+y|\le |x|+|y|$
6. $|xy|=|x||y|$
7. $d(x,y)\ge 0$. Also, $d(x,y)=0$ if and only if $x=y.$
8. $d(x,y)=d(y,x)$.
9. $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$.

性质

1. 所有的非零元素的平方都属于正元集
2. 有序环的特征一定为0
3. 有序环一定是无零因子环
4. Let D be an ordered integral domain with P as the set of positive elements. Let $F$ be a field of quotients of $D$. The set $P^{\prime }=\{x\in F|x=a/bfora,b\in D\wedge ab\in P\}$ is well-defined and give an order of F that induces then given order on $D$. Furthermore is the only subset of $F$ with this property.