环论(商域)

前置

• 环论(二)

定义

设$R$为整环

$B=R\times (R\setminus \{0\})=\{(a,b)\mid a,b\in R,b\ne 0\}$

在$B$上定义$(a,b){\sim }_{/}(c,d)$当且仅当$ad=bc$

$\text{Lemma}$. ${\sim }_{/}$是等价关系

等价关系${\sim }_{/}$的所有等价类组成的集合是$\mathbb{Z}$的一个划分，记作$\mathcal{B}$

$a,b\in R$，$(a,b)$的等价类记作$[(a,b)]$，简记为$[a,b]$

加法

在等价类上定义加法

$[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]$

因为$b$和$d$不为零，所以$bd$不为零，因此$[ad+bc,bd]$是$\mathcal{B}$中的元素

在集类上定义加法需要说明良定义性，即等价类之间的运算不依赖与等价类的表示方式，只依赖与集合内包含哪些元素。

假设$(e,f){\sim }_{/}(a,b)$和$(g,h){\sim }_{/}(c,d)$，需要证明$[ad+bc,bd]=[eg+fh,fh]$

容易验证按上述方式定义的加法具有如下性质：

• 加法交换律
• 加法结合律
• 加法单位元$[0,1]=[0,b]$，$1$为整环的乘法单位元,$b$为整环中的非零元素
• 加法逆元$[a,b]$的加法逆元为$[-a,b]$

因此$<\mathcal{B},+>$构成一个交换群

note: 需要验证逆元的良定义性，即若两个数表示的等价类相等，则它们的逆元表示的等价类也相等

乘法

在等价类上定义乘法

$[a,b]\times [c,d]=[ac,bd]$

验证良定义：假设$(e,f){\sim }_{/}(a,b)$和$(g,h){\sim }_{/}(c,d)$，需要证明$[ac,bd]=[eg,fh]$，可按定义证明。

容易验证按上述方式定义的乘法具有如下性质：

• 乘法交换律
• 乘法结合律
• 乘法单位元$[1,1]=[c,c]$，$1$为整环的乘法单位元,$c$为整环中的非零元素
• 乘法逆元，若$[a,b]\ne [0,1]$，则$[a,b]$有乘法逆元$[b,a]$
• 乘法对加法的分配律

因此$<\mathcal{B},+,\times >$构成一个域。

同构映射

$\varphi :R\to \mathcal{B}$，$\varphi (a)=[a,1]$，$a\in R$,易得$\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$，$\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$，因此$R$同构于$\mathcal{B}$的某个子环

$\mathcal{B}$中的任意元素$[a,b]=[a,1][b,1{]}^{-1}=\varphi (a)\varphi (b{)}^{-1}$，其中$a,b$为整数，$b>0$.

性质

1. Let $F$ be a field of quotients of $D$ and $L$ be any field containing $D$. Then there is a map $\psi :F\to L$ that give an isomorphism of $F$ with a subfield of $L$ such that $\psi (a)=a$ for all $a\in D$.