有理数

前置

• 整数
• 环论(商域)

有理数

因为$\mathbb{Z}$是整环，所以我们可以构造一个整环的商域(The Field of Quotients of an Integral Domain)

$B=\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})=\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0\}$

在$B$上定义$(a,b){\sim }_{/}(c,d)$当且仅当$ad=bc$

$\text{Lemma}$. ${\sim }_{/}$是等价关系

等价关系${\sim }_{/}$的所有等价类组成的集合是$\mathbb{Z}$的一个划分，记作$\mathcal{B}$

类似于构造整数的过程，$(a,b)$的等价类记作$[(a,b)]$，简记为$[a,b]$，这里的$a$和$b$是整数而不是自然数

有理数加法

在等价类上定义加法

$[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]$

因为$b$和$d$不为零，所以$bd$不为零，因此$[ad+bc,bd]$是$\mathcal{B}$中的元素

在集类上定义加法需要说明良定义性，即等价类之间的运算不依赖与等价类的表示方式，只依赖与集合内包含哪些元素。

假设$(e,f){\sim }_{/}(a,b)$和$(g,h){\sim }_{/}(c,d)$，需要证明$[ad+bc,bd]=[eg+fh,fh]$

容易验证按上述方式定义的加法具有如下性质：

• 加法交换律
• 加法结合律
• 加法单位元$[0,1]=[0,b]$，$1$为整环的乘法单位元,$b$为整环中的非零元素
• 加法逆元$[a,b]$的加法逆元为$[-a,b]$

因此$<\mathcal{B},+>$构成一个交换群

note: 需要验证逆元的良定义性，即若两个数表示的等价类相等，则它们的逆元表示的等价类也相等

有理数乘法

在等价类上定义乘法

$[a,b]\times [c,d]=[ac,bd]$

验证良定义：假设$(e,f){\sim }_{/}(a,b)$和$(g,h){\sim }_{/}(c,d)$，需要证明$[ac,bd]=[eg,fh]$，可按定义证明。

容易验证按上述方式定义的乘法具有如下性质：

• 乘法交换律
• 乘法结合律
• 乘法单位元$[1,1]=[c,c]$，$1$为整环的乘法单位元,$c$为整环中的非零元素
• 乘法逆元，若$[a,b]\ne [0,1]$，则$[a,b]$有乘法逆元$[b,a]$
• 乘法对加法的分配律

因此$<\mathcal{B},+,\times >$构成一个交换除环，即域。

note: 需要验证逆元的良定义性，即若两个数表示的等价类相等，则它们的逆元表示的等价类也相等

$\text{Definition}$. 令$i(n):N\to \mathcal{A}$，$i(n)=[n,1]$

$i(m+n)=[m+n,1]=[m,1]+[n,1]=i(m)+i(n)$

$i(mn)=[mn,1]=[m,1][n,1]=i(m)i(n)$

因此$i$是$\mathbb{N}$到$\mathcal{B}$的同态映射

若$i(m)=i(n)$，则$[m,1]=[n,1]$，即$m=n$，因此$i$是单射

因此$i$是$\mathbb{N}$到$\mathcal{B}$的子集$\{[n,1]\mid n\in \mathbb{N}\}$的同构映射

有序域

$\text{Lemma}$. $[a,b]=[-a,-b]$

$\text{Lemma}$. $\mathcal{B}$中任意元素$[a,b]=[a,1][b,1{]}^{-1}=i(a)i(b{)}^{-1}$，其中$a,b$为整数，$b>0$.

$\text{Definition}$. $P=\{x\in \mathcal{B}\mid \exists a,b\in \mathbb{Z},a,b>0\text{使得}x=[a,b]\}$

容易验证$P$满足如下性质

• $\forall x,y\in P,x+y\in P,xy\in P$
• $\forall x\in \mathcal{B},x\in P,x=0,-x\in P$三者有且只有一个成立

$\text{Lemma}$. 域是环

根据抽象代数里有序环的性质，我们可以定义偏序关系$x<y⟺y-x\in P$, $<$有如下性质

• Trichotomy: $x<y,x=y,x>y$三者有且只有一个成立
• Transitivity: $x<y,y<z\Rightarrow x<z$
• Addition preservation: $x<y\Rightarrow x+z<y+z$
• Multiplication preservation: $x<y,z>0\Rightarrow xz<yz$
• Negation reverses order: $a>b\Rightarrow -a<-b$

因为$\mathcal{B}$是域，所以有以下性质

• $a>0⟺a^{-1}>0$
• $0<a,0<b\to 0<a/b$
• $0<a<1\to 1<1/a$
• $-1<a<0\to 1/a<-1$

至此将$<\mathcal{B},+,\times >$记作$<\mathbb{Q},+,\times >$

$\text{Lemma}$. $[a,1]\ge [a,b]$ for $a,b\in Q\wedge a,b>0$

$\text{Lemma}$. 对于任意一个 Q 中的正数，都可以找到一个 Z 中的正数，使得

$\text{Lemma}$. $\mathbb{Q}$是一个 Archimedean 环，即对任意$x,y\in \mathbb{Q}$，$x>0,y>0\Rightarrow \exists n\in \mathbb{Z}\wedge n>0\text{使得}nx>y$

假设对任意$x,y\in \mathbb{Q}$，$x>0,y>0\Rightarrow \neg \exists n\in \mathbb{Q}\wedge n>0\text{使得}nx>y$

即对$\forall n\in \mathbb{Q}\wedge n>0$，$nx<y$ or $nx=y$

若对于某个$n$, $nx=y$,则$(n+1)x=nx+x=y+x>y$, 矛盾

因此必须有$nx<y$对所有$n\in \mathbb{Q}\wedge n>0$成立

但是 $y-(y{x}^{-1})x=y-y=0$，即$n=y{x}^{-1}$使得$nx\ge y$，矛盾

因此，对任意$x,y\in \mathbb{Q}$，$x>0,y>0\Rightarrow \exists n\in \mathbb{Q}\wedge n>0\text{使得}nx>y$

根据$\mathbb{Z}$的 Archimedean 性，可以找到一个$\mathbb{Z}$中的正数$m$，使得$m=m1>n$,易得$[m,1]>[n,1]$

因此对于任意一个正有理数$[a,b]$,存在一个$\mathbb{Z}$中的正数$s$使得$[s,1]>[a,1]\ge [a,b]$

所以$[s,1]x=sx>nx\ge y$. 证毕。

$\text{Lemma}$. 若$n,m\in \mathbb{Z}$，$n>m$，则$i(n)=[n,1]>[m,1]=i(m)$

有理数中定义范数(绝对值)、距离度量

$\text{Definition}$. (Absolute value) If $x$ is a rational number, the absolute value $|x|$ of $x$ is defined as follows. If $x$ is positive, then $|x|:=x$. If $x$ is negative, then $|x|:=-x$. If $x$ is zero, then $|x|:=0$.

上面定义绝对值有以下性质

• 非负性：$|x|\ge 0$，且$|x|=0⟺x=0$
• $|-x|=|x|$
• $x\le |x|$
• 三角不等式：$|x+y|\le |x|+|y|$
• 我们有不等式 $-y\le x\le y$ 当且仅当 $y\ge |x|$. 特别地，我们有 $-|x|\le x\le |x|$.
• 乘法性质：$|xy|=|x||y|$. 特别地，$|-x|=|x|$

$\text{Definition}$. (Distance) Let $x$ and $y$ be rational numbers. The quantity $|x-y|$ is called the distance between $x$ and $y$ and is sometimes denoted $d(x,y)$, thus $d(x,y):=|x-y|$.

上面定义的距离有以下性质

• 非负性：$d(x,y)\ge 0$，且$d(x,y)=0⟺x=y$
• 对称性：$d(x,y)=d(y,x)$
• 三角不等式：$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

$\text{Lemma}$. (Interspersing of integers by rationals). Let $x$ be a rational num-ber. Then there exists an integer $n$ such that $n\le x<n+1$. In fact, this integer is unique (i.e., for each $x$ there is only one $n$ for which $n\le x<n+1$). In particular, there exists a natural number $N$ such that $N>x$ (i.e., there is no such thing as a rational number which is larger than all the natural numbers).

提示：$\mathbb{Z}$中的非空子集若有下界，则该子集有最小元素。

$\text{Proposition}$. (Interspersing of rationals by rationals). If $x$ and $y$ are two rationals such that $x<y$, then there exists a third rational $z$ such that $x<z<y$.

令$2=1+1$,$1$ 是整环$\mathbb{Z}$ 的乘法单位元

(1/2) + (1/2) = [1,1+1] + [1,1+1]=[1+1+1+1,1+1+1+1]=[1,1]

$x=x/2+x/2<x/2+y/2<y/2+y/2=y$

令$z=(x+y)/2=x/2+y/2$即可。