微分中值定理

前置

• derivate
• 度量空间

三大中值定理指 Rolle 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理。它们是一元微分学中的定理。下面先把 derivate 的可微定义限制到一元，再沿这条链证明：一元可微、Fermat 定理、Rolle 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理。可微蕴含连续见 derivate。闭区间上的最值见 度量空间。开区间内的可微性给出内部连续性，端点处的连续性仍需单独假设。

一元可微

设 $f:X\to \mathbb{R}$，其中 $X\subseteq \mathbb{R}$，且 $x_0$ 是 $X$ 的内点。

按 derivate 的定义，$f$ 在 $x_0$ 可微，当且仅当存在线性映射 $L:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，使得

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{|f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)|}{|x-x_0|}=0.$$

引理. 一元可微等价于通常的导数存在。

proof

$L:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是线性映射，故存在唯一的常数 $\ell \in \mathbb{R}$，使得

$$L(h)=\ell h,\forall h\in \mathbb{R}.$$

可微条件等价于

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{|f(x)-f(x_0)-\ell (x-x_0)|}{|x-x_0|}=0.$$

去掉绝对值的范数表达后，这等价于

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell .$$

$f$ 的导数就是这个线性映射对应的系数：

$$\boxed{f^{\prime }(x_0)=\ell ,L(h)=f^{\prime }(x_0)h.}$$

之后各中值定理中的导数，都是这个线性映射导数在 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 情形下的系数。

Fermat 定理

定理. 设 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，并在 $x_0$ 可微。如果 $x_0$ 是 $f$ 的局部极大值点或局部极小值点，则

$$\boxed{f^{\prime }(x_0)=0.}$$

proof

先考虑 $x_0$ 是局部极大值点的情形。

根据局部极大值的定义，存在 $\delta >0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，

$$f(x)\le f(x_0).$$

因此，当 $0<h<\delta$ 时，

$$f(x_0+h)-f(x_0)\le 0.$$

由于 $h>0$，可得

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0.$$

令 $h\to 0^{+}$，得到

$$f^{\prime }(x_0)\le 0.$$

另一方面，当 $-\delta <h<0$ 时，同样有

$$f(x_0+h)-f(x_0)\le 0.$$

此时 $h<0$，除以 $h$ 后不等号反向：

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0.$$

令 $h\to 0^{-}$，得到

$$f^{\prime }(x_0)\ge 0.$$

$f$ 在 $x_0$ 可微，左右导数均存在且相等，因此

$$f^{\prime }(x_0)\le 0,f^{\prime }(x_0)\ge 0.$$

所以

$$\boxed{f^{\prime }(x_0)=0.}$$

局部极小值的情形完全类似。

极大值点两侧的差商符号相反，而可微性要求左右差商收敛到同一个数。因此该数只能是零。

这里 $x_0$ 必须是定义域的内点。对于闭区间的端点，Fermat 定理一般不成立。

Rolle 定理

定理. 设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 满足：

1. $f$ 在 $[a,b]$ 上连续；
2. $f$ 在 $(a,b)$ 上可微；
3. $f(a)=f(b)$。

则存在 $c\in (a,b)$，使得

$$\boxed{f^{\prime }(c)=0.}$$

proof

分两种情况。

情况一：$f$ 是常函数。此时对所有 $x\in (a,b)$，都有

$$f^{\prime }(x)=0.$$

任取 $c\in (a,b)$，结论成立。

情况二：$f$ 不是常函数。因为 $f(a)=f(b)$，设

$$f(a)=f(b)=A.$$

$f$ 不是常函数，存在 $x_1\in (a,b)$，使得

$$f(x_1)\ne A.$$

现在分两种可能。

• 若 $f(x_1)>A$，则 $f$ 的最大值至少为 $f(x_1)>A$。$[a,b]$ 是 $\mathbb{R}$ 中的有界闭集，由 度量空间 的性质 12 为紧集。由性质 15，最大值在某个 $c\in [a,b]$ 处取得。端点函数值均为 $A$，最大值不可能在端点取得，所以 $c\in (a,b)$。
• 若 $f(x_1)<A$，同理，最小值必在某个 $c\in (a,b)$ 处取得。

无论哪种情况，都存在 $c\in (a,b)$，使得 $c$ 是 $f$ 的内部局部极值点。由 Fermat 定理，

$$f^{\prime }(c)=0.$$

故

$$\boxed{\exists c\in (a,b),f^{\prime }(c)=0.}$$

两端函数值相同，且曲线在区间内部可微，则曲线上至少有一点的切线水平。

Lagrange 中值定理

定理. 设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 满足：

1. $f$ 在 $[a,b]$ 上连续；
2. $f$ 在 $(a,b)$ 上可微。

则存在 $c\in (a,b)$，使得

$$\boxed{f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.}$$

右侧是函数在两个端点之间的平均变化率。至少存在一点 $c$，其瞬时变化率等于整个区间的平均变化率。

proof

从 $f$ 中减去连接两个端点的直线，使新函数满足 Rolle 定理的条件。定义辅助函数

$$\phi (x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$$

减去的部分

$$f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

正是连接 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 的直线。

端点函数值相等. 代入 $x=a$，得

$$\phi (a)=f(a)-f(a)=0.$$

代入 $x=b$，得

$$\begin{array}{rl}\phi (b)& =f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)\\ & =f(b)-f(a)-[f(b)-f(a)]\\ & =0.\end{array}$$

因此

$$\boxed{\phi (a)=\phi (b)=0.}$$

连续性与可微性. $f$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可微，减去的是一个仿射函数，所以 $\phi$ 也满足同样的连续性和可微性条件。

应用 Rolle 定理. 存在 $c\in (a,b)$，使得

$${\phi }^{\prime }(c)=0.$$

由求导的和差法则，

$${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

于是

$$0={\phi }^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

移项得到

$$\boxed{f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.}$$

Lagrange 定理是 Rolle 定理的推广。

• Rolle 定理要求 $f(a)=f(b)$，也就是平均变化率为零。
• Lagrange 定理不要求端点函数值相等，而是通过减去一条割线，将问题转化为 Rolle 定理。

$$\boxed{\text{减去割线}⟶\text{端点等高}⟶\text{应用 Rolle 定理}.}$$

Cauchy 中值定理

定理. 设 $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ 满足：

1. $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续；
2. $f,g$ 在 $(a,b)$ 上可微。

则存在 $c\in (a,b)$，使得

$$\boxed{[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c)=[g(b)-g(a)]f^{\prime }(c).}$$

这把两个函数的整体变化量与某个共同点处的导数联系起来。

proof

构造 $f$ 和 $g$ 的线性组合，使其在两个端点的函数值相等，然后应用 Rolle 定理。记

$$\Delta f=f(b)-f(a),\Delta g=g(b)-g(a).$$

定义辅助函数

$$\boxed{\phi (x)=\Delta f[g(x)-g(a)]-\Delta g[f(x)-f(a)].}$$

端点函数值相等. 当 $x=a$ 时，

$$\phi (a)=0.$$

当 $x=b$ 时，

$$\begin{array}{rl}\phi (b)& =\Delta f[g(b)-g(a)]-\Delta g[f(b)-f(a)]\\ & =\Delta f\Delta g-\Delta g\Delta f\\ & =0.\end{array}$$

因此

$$\boxed{\phi (a)=\phi (b)=0.}$$

连续性与可微性. $f,g$ 都在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可微，而 $\Delta f,\Delta g$ 都是常数，所以 $\phi$ 满足 Rolle 定理的全部条件。

应用 Rolle 定理. 存在 $c\in (a,b)$，使得

$${\phi }^{\prime }(c)=0.$$

对辅助函数求导，得到

$${\phi }^{\prime }(x)=\Delta f{g}^{\prime }(x)-\Delta g{f}^{\prime }(x).$$

所以

$$0=\Delta f{g}^{\prime }(c)-\Delta g{f}^{\prime }(c).$$

代回 $\Delta f,\Delta g$ 的定义，得到

$$\boxed{[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c)=[g(b)-g(a)]f^{\prime }(c).}$$

如果进一步满足

$$g^{\prime }(x)\ne 0,\forall x\in (a,b),$$

那么由 Rolle 定理可知 $g(a)\ne g(b)$，且上面得到的 $g^{\prime }(c)\ne 0$。此时可以将等式两边相除，得到

$$\boxed{\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.}$$

一般形式是乘积等式。写成导数比值时，需要分母不为零。