朴素集合论(二)

前置

• 初等数论

偏序

超限归纳法：$A$是良序集，$P$是$A$上的某种性质，若$\forall a\in A((\forall b<a(P(b)\text{ is True}))\to P(a)\text{ is True})$，则$P$对$A$成立

证明：$P(\min A)$空真。设$B=\{a\in A|P(a)\text{ is False}\}$，$B$非空，$B$有最小元$a$，由归纳假设可得，$P(a)$为真。与$a\in B$矛盾。

集合的势

• 势的比较: 若存在$A$到$B$的单射，则称$|A|\le |B|$
• 等势: 若存在双射$f:A\to B$，则称$|A|=|B|$
• 可数集(countable set): 若$|A|=\mathbb{N}$，则称$A$是可数集
• 不可数集(uncountable set): 若$\mathbb{N}\le |A|\wedge |A|\ne \mathbb{N}$，则称$A$是不可数集
• 至多可数集(at most countable set): 若$|A|\le \mathbb{N}$，则称$A$是至多可数集

性质

1. 若$|A|\le |B|\wedge |B|\le |C|$，则$|A|\le |C|$
2. 若$|A|\le |B|\wedge |B|\le |A|$，则$|A|=|B|$
3. 至多可数个至多可数集的并仍是至多可数集