与R相关的Borel集

1. Prerequisites

• class-of-sets
• 序拓扑

2. $\mathcal{B}(\mathbb{R})$的生成元

1. $\mathbb{R}$上的所有开集
2. $\mathbb{R}$上的所有闭集
3. $\mathbb{R}$上的$\{(-\infty ,a]:a\in \mathbb{Q}\}$
4. $\mathbb{R}$上的$\{(-\infty ,a):a\in \mathbb{Q}\}$
5. $\mathbb{R}$上的$\{(a,b]:a<b\wedge a,b\in \mathbb{Q}\}$
6. $\mathbb{R}$上的$\{[a,b]:a<b\wedge a,b\in \mathbb{Q}\}$
7. $\mathbb{R}$上的$\{[a,b):a<b\wedge a,b\in \mathbb{Q}\}$
8. $\mathbb{R}$上的$\{(a,b):a<b\wedge a,b\in \mathbb{Q}\}$

3. ${\mathbb{R}}^n$上的度量空间 与 积拓扑

$\mathbb{R}$上的绝对值可以作为度量函数，从而使得$\mathbb{R}$成为一个度量空间(拓扑空间)$(X,\tau )$,简记为$X$

${\mathbb{R}}^n$上内积诱导范数，范数诱导度量，从而使得${\mathbb{R}}^n$成为一个度量空间(拓扑空间)$(A,{\tau }_A)$,简记为$A$

$n$个$\mathbb{R}$可以制作一个积空间，从而使得${\mathbb{R}}^n$成为一个拓扑空间$(B,{\tau }_B)$，简记为$B$

下面证明$A=B$，只需要证明$A$的基等于$B$的基。

下面把证明所有的开矩形构成的集合是${\mathbb{R}}^n$的一个基。

只需要证明${\mathbb{R}}^n$中的任意开集内的一点，都可以在这个开集中找到一个开矩形(易证开矩形是开集)，使得这个点在这个开矩形中。

对于${\mathbb{R}}^n$中的任意开集$U$内的任意一点$x$，都可以找到一个包含$x$的开球$B(x,r)\subseteq U$, 而在这个开球内可以很容易的找到一个开矩形$R\subseteq B(x,r)$

因此，所有的开矩形构成的集合是${\mathbb{R}}^n$的一个基。

又显然所有的开矩形构成的集合也是$B$的一个基。因此，$A$的基等于$B$的基。，因此$A=B$。

4. $\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)$的生成元

1. ${\mathbb{R}}^n$中的所有开集
2. ${\mathbb{R}}^n$中的所有闭集
3. ${\mathbb{R}}^n$中的所有开矩形$\{(\mathbf{a},\mathbf{b}):a,b\in \mathbb{R}\wedge a_i<b_i,i=1,2,\dots ,n\}$，因为${\mathbb{R}}^n$为第二可数空间。
4. ${\mathbb{R}}^n$中的所有有理开矩形$\{(\mathbf{a},\mathbf{b}):\mathbf{a},\mathbf{b}\in {\mathbb{Q}}^n\wedge a_i<b_i,i=1,2,\dots ,n\}$
5. $\{(\mathbf{a},\mathbf{b}]:\mathbf{a},\mathbf{b}\in {\mathbb{Q}}^n\wedge \mathbf{a}<\mathbf{b}\}$
6. $\{[\mathbf{a},\mathbf{b}):\mathbf{a},\mathbf{b}\in {\mathbb{Q}}^n\wedge \mathbf{a}<\mathbf{b}\}$
7. $\{[\mathbf{a},\mathbf{b}]:\mathbf{a},\mathbf{b}\in {\mathbb{Q}}^n\wedge \mathbf{a}<\mathbf{b}\}$
8. $\{(-\infty ,\mathbf{b}):\mathbf{b}\in {\mathbb{Q}}^n\}$
9. $\{(-\infty ,\mathbf{b}]:\mathbf{b}\in {\mathbb{Q}}^n\}$
10. $\{(\mathbf{a},+\infty ):\mathbf{a}\in {\mathbb{Q}}^n\}$
11. $\{[\mathbf{a},+\infty ):\mathbf{a}\in {\mathbb{Q}}^n\}$

5. $\mathcal{B}(\overline{\mathbb{R}})$的生成元

这里$\overline{\mathbb{R}}$的拓扑是指序拓扑

1. $\overline{\mathbb{R}}$上的所有开集
2. $\overline{\mathbb{R}}$上的所有闭集
3. $\{[-\infty ,a]:a\in \mathbb{Q}\}$
4. $\{[a,+\infty ]:a\in \mathbb{Q}\}$
5. $\{[-\infty ,a):a\in \mathbb{Q}\}$
6. $\{(a,+\infty ]:a\in \mathbb{Q}\}$
7. $\{[-\infty ,a):a\in \overline{\mathbb{R}}\}$
8. $\{[a,b]:a,b\in \overline{\mathbb{R}}\wedge a<b\}$