序拓扑

序拓扑(Order Topology)

前置

• 拓扑空间

定义

设 $X$ 是一个全序集，$X$ 上的序拓扑是由以下”开射线”为子基生成拓扑空间：

• $\{x|a<x\}$
• $\{x|x<b\}$

其中 $a,b\in X$。若 $X$ 至少含有两个元素，这等价于说开区间

$(a,b)=\{x|a<x<b\}$

连同上述开射线构成序拓扑的一个基。$X$ 中的开集是这些开区间和开射线的并集（可能是无限多个的并）。

序拓扑是一种可以在任何全序集上定义的特定拓扑。它是对实数拓扑的一种自然推广到任意全序集。

• 一个拓扑空间 $X$ 称为可序化或线性可序化，如果存在其上的一个全序使得由该全序诱导的序拓扑与 $X$ 上给定的拓扑重合。

结论

1. $\mathbb{R}$ 是可序化的，$\mathbb{R}$ 由度量诱导的拓扑空间与序拓扑 相等
2. ${\tau }_{\overline{\mathbb{R}}}$ 的子基为 $\{[-\infty ,a):a\in \overline{\mathbb{R}}\}\cup \{(a,+\infty ]:a\in \overline{\mathbb{R}}\}$
3. $\overline{\mathbb{R}}$ 生成的序拓扑中$\mathbb{R}$ 是开集
4. 将$\mathbb{R}$ 视为$\overline{\mathbb{R}}$ 的子空间，抑或直接从$\mathbb{R}$ 生成序拓扑，结果相同
5. $\{[-\infty ,a):a\in \mathbb{Q}\}\cup \{(a,+\infty ]:a\in \mathbb{Q}\}\cup \{(a,b):a,b\in \mathbb{Q}\}$ 是$\overline{\mathbb{R}}$ 的基, 因此$\overline{\mathbb{R}}$ 是第二可数空间