可测映射与随机变量

Prerequisites

• class-of-sets

定义

• 可测映射：设$f:\Omega \to E$，其中$(\Omega ,\mathcal{F})$和$(E,\mathcal{E})$是可测空间, 若$\mathcal{E}$中的元素在$f$下的逆像都是$\mathcal{F}$中的元素，则称$f$为可测映射。记作$f\in \mathcal{F}/\mathcal{E}$。
• Borel可测映射：若可测映射的$\Omega$和$E$为拓扑空间，且$\mathcal{F}=\mathcal{B}(\Omega )$, $\mathcal{E}=\mathcal{B}(E)$，则称$f$为Borel可测映射。
• 通过定义域构造$\sigma$代数： $\{(E_t,{\mathcal{E}}_t),t\in T\}$是一族可测空间,且诸$f_t:\Omega \to E_t$, $\sigma (f_t,t\in T)$:= $\sigma ({\bigcup }_{t\in T}\sigma (f_t))=\sigma ({\bigcup }_{t\in T}{f}_t^{-1}({\mathcal{E}}_t))$ 是$\Omega$上使得每个$f_t$可测的最小$\sigma$-代数。
• 通过值域构造$\sigma$代数：$\mathcal{E}=\{A\subseteq E:g^{-1}(A)\in \mathcal{F}\}$是$E$上使得$g$可测的最大$\sigma$-代数。$\mathcal{E}={\bigcap }_{t\in T}\{A\subseteq E:g_t^{-1}(A)\in \mathcal{F}\}$是E上使得每个$g_t$可测的最大$\sigma$-代数。

性质

• 若$f\in {\mathcal{F}}_1/\mathcal{E},{\mathcal{F}}_1\subseteq F_2$, 则$f\in {\mathcal{F}}_2/\mathcal{E}$
• 可测映射的复合仍为可测映射
• 连续映射可测
• 若$(\Omega ,\mathcal{F})$和$(E,\mathcal{E})$为可测空间, 且$\sigma (\mathcal{C})=\mathcal{E}$，则$f\in \mathcal{F}/\mathcal{E}⟺f^{-1}(\mathcal{C})\subseteq \mathcal{F}$
• 设$(\Omega ,\mathcal{F}),(E,\mathcal{E})$为可测空间，$f:\Omega \to E$, $T$是任意非空指集，若$\forall t\in T,(S_t,{\mathcal{S}}_t)$是可测空间,且${\varphi }_t:E\to S_t$是可测映射，且$\mathcal{E}=\sigma ({\varphi }_t,t\in T)$,则$f\in \mathcal{F}/\mathcal{E}⟺\forall t\in T,{\varphi }_t\circ f\in \mathcal{F}/{\mathcal{S}}_t$