随机变量-像测度与概率分布

前置

measurable-func

定义

• 设$f:(\Omega ,\mathcal{F},P)\to (E,\mathcal{E}))$为可测映射，令$\mu \circ f^{-1}(B)=\mu (f^{-1}(B)),B\in \mathcal{E}$，则$\mu \circ f^{-1}$是$(E,\mathcal{E})$上的测度，从而$(E,\mathcal{E},\mu \circ f^{-1})$为一新的测度空间。称$\mu \circ f^{-1}$为$\mu$在$f$下的像测度(image measure). 称$P$在$X$下的像测度$P_X:=P\circ X$为$X$的概率分布.若$\mu$是概率测度，则$\mu \circ f^{-1}$也是概率测度。
• 设$(\Omega ,\mathcal{F},P)$为概率空间，$E$为度量空间，若$X$是从$(\Omega ,\mathcal{F},P)$到$(E,\mathcal{B}(E))$的可测映射，则称$X$为从$(\Omega ,\mathcal{F},P)$到$E$的随机元(random element)。当$(E,\mathcal{B}(E))=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$时，称$X$为随机变量(random variable, r.v.)。
• 设$X$为一随机变量，$F(x):=P_X((-\infty ,x])=:P(X\le x)$，易知$F$满足d.f.的定义，称$F$为$X$的分布函数，记作$X\sim F$
• 当$(E,\mathcal{E})=({\mathbb{R}}^n,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n))$时，称${\mathbb{R}}^n$值随机元为随机向量(random vector, R.V.)。用常用黑体$\mathbf{X}$表示。
• 当$(E,\mathcal{E})=(\mathbb{C},\mathcal{B}(\mathbb{C}))$时，称$\mathbb{C}$值随机元为复值随机变量(complex random variable, c.r.v.)。用常用黑体$\mathbf{X}$表示。

性质

1. 设$L:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$为可逆线性变换，$\lambda$是${\mathbb{R}}^n$上的$L$测度与，则$\lambda \circ L=|\det L|\lambda$。
2. $\mathbf{X}$为R.V. $⟺$ 诸分量$X_i$为r.v.
3. 设$F(x)$为d.f., 则存在某个概率空间$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上的r.v. $X$使得$X\sim F$。
4. 设$F(\mathbf{x})$为d维d.f., 则存在某个概率空间$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上的R.V. $\mathbf{X}$使得$\mathbf{X}\sim F$。
5. $\mathbf{X}$为c.r.v. $⟺$ 诸分量实部$ReX$与虚部$ImX$都为r.v.