乘积度量空间与积拓扑

Prerequisites

${(X_{i}, d_{i}) : i = 1, 2, \dots, n}$ 为n个度量空间， $X = \prod_{i = 1}^{n} X_{i}$ ， $d_{i}$ 为 $X_{i}$ 上的度量，则 $X$ 上的乘积度量定义为

d (x, y) = i = 1 \sum n d_{i} (x_{i}, y_{i})^{2}

$(X, d)$ 称为 $X_{i}$ 的乘积度量空间

设 ${(X_{i}, τ_{i}) : i = 1, 2, \dots, n}$ 为n个拓扑空间，则 $X$ 上的积拓扑定义为

τ = {i = 1 \prod n U_{i} : U_{i} \subseteq X_{i} 是 X_{i} 上的开集}

$(X, τ)$ 称为 $X_{i}$ 的积拓扑空间

若 $B_{i}$ 为 $X_{i}$ 上的基，则 $X = \prod_{i = 1}^{n} X_{i}$ 的积拓扑的基为

B = {i = 1 \prod n B_{i} : B_{i} \subseteq B_{i}}

证明积拓扑的基为乘积度量空间的基

度量空间的积拓扑的基为 $B = {\prod_{i = 1}^{n} B (x_{i}, r_{i}) : x_{i} \in X_{i}, r_{i} > 0}$

乘积度量空间的基为 $A = {B (x, r) : x \in X, r > 0}$

证明积拓扑的基为乘积度量空间中的开集

任取 $B$ 中元素 $U = \prod_{i = 1}^{n} B (x_{i}, r_{i})$ ，任取 $y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) \in U$ ，则

$r_{i} - d (x_{i}, y_{i}) =: a_{i} \in (0, r_{i})$

$a = min (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$

$\forall z \in B (y, a)$

$d (x_{i}, z_{i}) \leq d (x_{i}, y_{i}) + d (y_{i}, z_{i}) < d (x_{i}, y_{i}) + a = r_{i}$

所以 $z \in \prod_{i = 1}^{n} B (x_{i}, r_{i}) = U$ ，即 $B (y, a) \subseteq U$

因此 $B$ 中的元素是乘积度量空间中的开集

证明积拓扑的基为乘积度量空间的基

只需要证明 $A$ 中的任一元素能被 $B$ 中的某些元素完美覆盖

任取 $A$ 中元素 $V = B (x, r)$ ，任取 $y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) \in V$

$b = r - d (x, y)$

$\forall z \in B (y, b)$

$d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z) < d (x, y) + b = r$

$B (y, b) \subseteq V$

$c = \frac{b}{n}$

$\forall p \in \prod_{i = 1}^{n} B (y_{i}, c)$

$d (y, p) = \sum_{i = 1}^{n} d (y_{i}, p_{i})^{2} < \sum_{i = 1}^{n} c^{2} = b$

因此 $\prod_{i = 1}^{n} B (y_{i}, c) \subseteq B (y, b) \subseteq V$

所以 $A$ 中的任一元素能被 $B$ 中的某些元素完美覆盖

度量空间的积拓扑与乘积度量空间有一个共同的拓扑基，因此度量空间的积拓扑与乘积度量空间是相等的。