乘积度量空间与积拓扑

Prerequisites

• metric-space
• 拓扑空间

乘积度量空间

$\{(X_i,d_i):i=1,2,\cdots ,n\}$ 为n个度量空间，$X={\prod }_{i=1}^n{X}_i$，$d_i$ 为 $X_i$ 上的度量，则 $X$ 上的乘积度量定义为

$$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{\sum _{i=1}^n{d}_i(x_i,y_i{)}^2}$$

$(X,d)$ 称为 $X_i$ 的乘积度量空间

积拓扑

设 $\{(X_i,{\tau }_i):i=1,2,\cdots ,n\}$ 为n个拓扑空间，则 $X$ 上的积拓扑定义为

$$\tau =\{\prod _{i=1}^n{U}_i:U_i\subseteq X_i\text{ 是 }{X}_i\text{ 上的开集}\}$$

$(X,\tau )$ 称为 $X_i$ 的积拓扑空间

若 ${\mathcal{B}}_i$ 为 $X_i$ 上的基，则 $X={\prod }_{i=1}^n{X}_i$ 的积拓扑的基为

$$\mathcal{B}=\{\prod _{i=1}^n{B}_i:B_i\subseteq {\mathcal{B}}_i\}$$

乘积度量空间与积拓扑的等价性

证明积拓扑的基为乘积度量空间的基

度量空间的积拓扑的基为$\mathcal{B}=\{{\prod }_{i=1}^{n}B(x_i,r_i):x_i\in X_i,r_i>0\}$

乘积度量空间的基为$\mathcal{A}=\{B(\mathbf{x},r):\mathbf{x}\in X,r>0\}$

证明积拓扑的基为乘积度量空间中的开集

任取$\mathcal{B}$ 中元素$U={\prod }_{i=1}^{n}B(x_i,r_i)$，任取$\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\in U$，则

$r_i-d(x_i,y_i)=:a_i\in (0,r_i)$

$a=min(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$

$\forall \mathbf{z}\in B(\mathbf{y},a)$

$d(x_i,z_i)\le d(x_i,y_i)+d(y_i,z_i)<d(x_i,y_i)+a=r_i$

所以$\mathbf{z}\in {\prod }_{i=1}^{n}B(x_i,r_i)=U$，即$B(\mathbf{y},a)\subseteq U$

因此$\mathcal{B}$中的元素是乘积度量空间中的开集

证明积拓扑的基为乘积度量空间的基

只需要证明 $\mathcal{A}$ 中的任一元素能被 $\mathcal{B}$ 中的某些元素完美覆盖

任取$\mathcal{A}$ 中元素$V=B(\mathbf{x},r)$，任取$\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\in V$

$b=r-d(\mathbf{x},\mathbf{y})$

$\forall \mathbf{z}\in B(\mathbf{y},b)$

$d(\mathbf{x},\mathbf{z})\le d(\mathbf{x},\mathbf{y})+d(\mathbf{y},\mathbf{z})<d(\mathbf{x},\mathbf{y})+b=r$

$B(\mathbf{y},b)\subseteq V$

$c=\frac{b}{\sqrt{n}}$

$\forall \mathbf{p}\in {\prod }_{i=1}^{n}B(y_i,c)$

$d(\mathbf{y},\mathbf{p})=\sqrt{{\sum }_{i=1}^{n}d(y_i,p_i{)}^2}<\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{c}^2}=b$

因此${\prod }_{i=1}^{n}B(y_i,c)\subseteq B(\mathbf{y},b)\subseteq V$

所以$\mathcal{A}$ 中的任一元素能被 $\mathcal{B}$ 中的某些元素完美覆盖

度量空间的积拓扑与乘积度量空间有一个共同的拓扑基，因此度量空间的积拓扑与乘积度量空间是相等的。