子空间

前置

• 拓扑空间

定义

• 称$(Y,{\tau }^{\prime })$为$(X,\tau )$的子空间(relative topology)，若${\tau }^{\prime }=Y\cap \tau$，容易验证$(Y,{\tau }^{\prime })$ 为拓扑空间

性质

2. $(X_0,X_0\cap \tau )$中的(诱导、相对)开集是$X_0$的开集 $⟺$ $X_0$是$X$的开集
3. 子空间$X_0$中的闭集为$X$中的闭集 $⟺$ $X_0$为$X$中的闭集
4. 若$F$为$X$中的闭集，则$F\cap X_0$为$X_0$中的闭集
5. 第一可数空间的子空间都为第一可数空间
6. 第二可数空间的子空间都为第二可数空间
7. $T_1$空间的子空间为$T_1$空间
8. $T_2$(Hausdorff)空间的子空间为$T_2$空间