向量空间的内部直和分解

• 1. 前置
• 2. 记号
• 3. 子空间的和与直和
  • 3.1. 和与交
  • 3.2. 分解的唯一性
• 4. 沿补空间的投影
  • 4.1. 定义
  • 4.2. 线性性
  • 4.3. 像与核
  • 4.4. 幂等性
  • 4.5. 互补投影
• 5. 投影与内部直和
  • 5.1. 从直和到幂等算子
• 6. 正交投影
  • 6.1. 正交补与正交直和
  • 6.2. 自伴性
• 7. 与商空间

1. 前置

• 向量空间(商空间)

2. 记号

设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间。子空间记作 $S,T\le V$。恒等算子记作 ${\mathrm{Id}}_V$，线性映射 $P:V\to V$ 的像与核分别记作 $\mathrm{Im}P$ 与 $\ker P$。

本文先在一般向量空间中讨论直和与（斜）投影，再在内积空间中讨论正交投影。

3. 子空间的和与直和

3.1. 和与交

设 $S,T\le V$。它们的和与交分别为

$$S+T:=\{s+t:s\in S,t\in T\},S\cap T:=\{v\in V:v\in S\text{ 且 }v\in T\}.$$

二者都是 $V$ 的子空间。$S+T$ 是包含 $S$ 与 $T$ 的最小子空间。

证明

先看交。$0\in S$ 且 $0\in T$，故 $0\in S\cap T$。若 $x,y\in S\cap T$，则 $x,y\in S$ 且 $x,y\in T$。$S,T$ 都是子空间，所以对任意 $\alpha ,\beta \in F$，

$$\alpha x+\beta y\in S,\alpha x+\beta y\in T,$$

从而 $\alpha x+\beta y\in S\cap T$。故 $S\cap T\le V$。

再看和。$0=0+0\in S+T$。若 $s+t,s^{\prime }+t^{\prime }\in S+T$，则

$$\alpha (s+t)+\beta (s^{\prime }+t^{\prime })=(\alpha s+\beta s^{\prime })+(\alpha t+\beta t^{\prime })\in S+T,$$

因为 $\alpha s+\beta s^{\prime }\in S$、$\alpha t+\beta t^{\prime }\in T$。故 $S+T\le V$。

最后看最小性。对任意 $s\in S$、$t\in T$，有 $s=s+0$、$t=0+t$，故 $S\subseteq S+T$ 且 $T\subseteq S+T$。若 $W\le V$ 也满足 $S\subseteq W$ 且 $T\subseteq W$，则对任意 $s+t\in S+T$ 都有 $s,t\in W$，从而 $s+t\in W$。因此 $S+T\subseteq W$。也就是说，$S+T$ 含于每一个同时包含 $S$ 与 $T$ 的子空间，它是其中最小的。

若还满足

$$S+T=V,S\cap T=\{0\},$$

则称 $V$ 是 $S$ 与 $T$ 的内部直和，记作

$$V=S\oplus T.$$

此时称 $T$ 是 $S$ 的一个代数补（complement），也称 $S$ 与 $T$ 互为补空间。

3.2. 分解的唯一性

下列三条彼此等价。

1. $V=S\oplus T$。
2. $V=S+T$ 且 $S\cap T=\{0\}$。
3. 任意 $v\in V$ 都可以唯一地写成 $v=s+t$，其中 $s\in S$、$t\in T$。

证明

$(1)⟺(2)$ 就是定义。

$(2)\Rightarrow (3)$：存在性来自 $V=S+T$。若 $v=s+t=s^{\prime }+t^{\prime }$，则 $s-s^{\prime }=t^{\prime }-t\in S\cap T=\{0\}$，故 $s=s^{\prime }$、$t=t^{\prime }$。

$(3)\Rightarrow (2)$：先证集合相等 $V=S+T$，即两边互相包含。

• $S+T\subseteq V$：因为 $S,T\le V$，对任意 $s\in S$、$t\in T$ 都有 $s,t\in V$，而 $V$ 对加法封闭，故 $s+t\in V$。
• $V\subseteq S+T$：由 (3) 的存在性，任意 $v\in V$ 都可写成 $v=s+t$，其中 $s\in S$、$t\in T$，故 $v\in S+T$。

因此 $V=S+T$。剩下要证 $S\cap T=\{0\}$。取 $x\in S\cap T$。由于 $x\in S$、$0\in T$，可以把 $x$ 写成

$$x=x+0,x\in S,0\in T.$$

由于 $0\in S$、$x\in T$，又可以把同一个 $x$ 写成

$$x=0+x,0\in S,x\in T.$$

这是 $x$ 的两种 $S+T$ 分解。由 (3) 的唯一性，两种写法的 $S$ 分量必须相同，也就是 $x=0$。因此 $S\cap T\subseteq \{0\}$。反过来 $0$ 当然属于交，故 $S\cap T=\{0\}$。

4. 沿补空间的投影

4.1. 定义

给定直和分解 $V=S\oplus T$，对任意 $v\in V$，设其唯一分解为

$$v=s+t,s\in S,t\in T.$$

定义

$$P_S(v):=s.$$

称 $P_S:V\to V$ 为沿 $T$ 投影到 $S$ 的投影算子。同理 $P_T(v):=t$ 是沿 $S$ 投影到 $T$ 的投影。

4.2. 线性性

设 $v=s+t$、$w=s^{\prime }+t^{\prime }$。则

$$\alpha v+\beta w=(\alpha s+\beta s^{\prime })+(\alpha t+\beta t^{\prime }),$$

其中 $\alpha s+\beta s^{\prime }\in S$、$\alpha t+\beta t^{\prime }\in T$。由分解唯一性，

$$P_S(\alpha v+\beta w)=\alpha s+\beta s^{\prime }=\alpha P_S(v)+\beta P_S(w).$$

故 $P_S$ 是线性映射。

4.3. 像与核

$$\mathrm{Im}{P}_S=S,\ker P_S=T.$$

同理 $\mathrm{Im}{P}_T=T$、$\ker P_T=S$。

证明

对任意 $s\in S$，有 $s=s+0$，故 $P_S(s)=s$。因此 $S\subseteq \mathrm{Im}{P}_S$。反之 $P_S(v)$ 按定义落在 $S$ 中，故 $\mathrm{Im}{P}_S\subseteq S$。

$P_S(v)=0$ 当且仅当分解中的 $S$ 分量为 $0$，即 $v\in T$。故 $\ker P_S=T$。

4.4. 幂等性

若 $v=s+t$，则 $P_S(v)=s\in S$，从而

$$P_S^2(v)=P_S(s)=s=P_S(v).$$

所以

$$P_S^2=P_S.$$

同理 $P_T^2=P_T$。满足 $P^2=P$ 的线性算子称为幂等算子，也称为（代数）投影算子。

4.5. 互补投影

由 $v=s+t=P_S(v)+P_T(v)$ 立即得到

$$P_S+P_T={\mathrm{Id}}_V,$$

因此 $P_T={\mathrm{Id}}_V-P_S$。

再由 $\mathrm{Im}{P}_T=T=\ker P_S$ 可知

$$P_S{P}_T=0,P_T{P}_S=0.$$

因为 $P_T(v)\in T=\ker P_S$，故 $P_S(P_T(v))=0$；另一侧同理。

这四条合在一起：

$$P_S+P_T={\mathrm{Id}}_V,P_S^2=P_S,P_T^2=P_T,P_S{P}_T=P_T{P}_S=0.$$

5. 投影与内部直和

graph LR
 DirectSum["V = S ⊕ T"] -->|"沿 T 投影到 S"| Idempotent["P² = P"]
 Idempotent -->|"S = Im P, T = ker P"| DirectSum

5.1. 从直和到幂等算子

设 $P:V\to V$ 满足 $P^2=P$。令

$$S:=\mathrm{Im}P,T:=\ker P.$$

则 $V=S\oplus T$，且 $P$ 恰是沿 $T$ 投影到 $S$ 的投影。

证明

任意 $v\in V$ 可写成

$$v=Pv+(v-Pv).$$

第一项 $Pv\in \mathrm{Im}P=S$。第二项落在核中：

$$P(v-Pv)=Pv-P^{2}v=Pv-Pv=0,$$

故 $v-Pv\in \ker P=T$。于是 $V=S+T$。

若 $x\in S\cap T$，则存在 $w$ 使 $x=Pw$，同时又有 $Px=0$。因此

$$x=Pw=P^{2}w=P(Pw)=Px=0.$$

故 $S\cap T=\{0\}$，即 $V=S\oplus T$。

在这个分解下，$v$ 的 $S$ 分量恰好是 $Pv$，所以 $P$ 就是沿 $T$ 投影到 $S$ 的投影。

因此：

投影映射 = 幂等线性映射

6. 正交投影

6.1. 正交补与正交直和

现设 $V$ 是内积空间，$S\le V$。正交补

$$S^{\perp }:=\{v\in V:⟨v,s⟩=0\forall s\in S\}$$

仍是子空间，且总有 $S\cap S^{\perp }=\{0\}$。

若进一步有 $V=S+S^{\perp }$，则

$$V=S\oplus S^{\perp }$$

是正交直和分解。此时沿 $S^{\perp }$ 投影到 $S$ 的算子记作 $P_S$，称为到 $S$ 的正交投影。相应的互补投影是 $P_{S^{\perp }}={\mathrm{Id}}_V-P_S$。

6.2. 自伴性

正交投影不仅幂等，还是自伴的。

设 $v=s+t$、$w=s^{\prime }+t^{\prime }$，其中 $s,s^{\prime }\in S$，$t,t^{\prime }\in S^{\perp }$。则

$$⟨P_{S}v,w⟩=⟨s,s^{\prime }+t^{\prime }⟩=⟨s,s^{\prime }⟩=⟨s+t,s^{\prime }⟩=⟨v,P_{S}w⟩.$$

故 $P_S^{\ast }=P_S$。同理 $P_{S^{\perp }}^{\ast }=P_{S^{\perp }}$。

反之，若 $P^2=P$ 且 $P^{\ast }=P$，则 $P$ 必是到 $S:=\mathrm{Im}P$ 的正交投影。

证明

$P^2=P$ 已经给出 $V=\mathrm{Im}P\oplus \ker P$。记 $S:=\mathrm{Im}P$，只需再证 $\ker P=S^{\perp }$，这样补空间就是正交补，$P$ 就是沿 $S^{\perp }$ 投影到 $S$ 的正交投影。

第一步： 任意向量 $v\in V$ 为零，当且仅当它与整个空间正交：

$$v=0⟺⟨v,y⟩=0,\forall y\in V$$

也就是 $V^{\perp }=\{0\}$。一边：$v=0$ 时 $⟨0,y⟩=0$。另一边：若对一切 $y$ 有 $⟨v,y⟩=0$，取 $y=v$，正定性给出 $⟨v,v⟩=0$，故 $v=0$。

把 $v$ 换成 $Px$，即得 $x\in \ker P$ 当且仅当对一切 $y$ 有 $⟨Px,y⟩=0$。

第二步： 用伴随把上式改写到 $x$ 一侧。由伴随的定义，

$$⟨Px,y⟩=⟨x,P^{\ast }y⟩.$$

因此 $x\in \ker P$ 当且仅当对一切 $y\in V$ 有 $⟨x,P^{\ast }y⟩=0$。而 $\{P^{\ast }y:y\in V\}$ 恰好是 $\mathrm{Im}{P}^{\ast }$，再按正交补的定义，

$$(\mathrm{Im}{P}^{\ast }{)}^{\perp }=\{v\in V:⟨v,w⟩=0\forall w\in \mathrm{Im}{P}^{\ast }\}.$$

故 $x\in \ker P$ 当且仅当 $x\in (\mathrm{Im}{P}^{\ast }{)}^{\perp }$，即

$$\ker P=(\mathrm{Im}{P}^{\ast }{)}^{\perp }.$$

第三步： 加上自伴性。$P^{\ast }=P$ 给出 $\mathrm{Im}{P}^{\ast }=\mathrm{Im}P=S$，因此

$$\ker P=S^{\perp }.$$

于是 $V=S\oplus S^{\perp }$，且 $P$ 正是沿 $S^{\perp }$ 投影到 $S$ 的投影。

总结：

$$\text{一般投影}⟺P^2=P,\text{正交投影}⟺P^2=P\text{ 且 }{P}^{\ast }=P.$$

7. 与商空间

若 $V=S\oplus T$，第 4 节的 $P_T$ 是沿 $S$ 投影到 $T$，且

$$\ker P_T=S,\mathrm{Im}{P}_T=T.$$

把 $P_T$ 看成满的线性映射 $V\to T$，向量空间(商空间) 的第一同构定理给出

$$V/S\cong \mathrm{Im}{P}_T=T.$$

对称地 $V/T\cong S$。