向量空间的商空间

1. 前置

• 向量空间

设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间，$W\le V$。加法结构全部交给商群；本文只补数乘。

2. 作为商群

$(V,+)$ 是交换群。子空间对加法和逆封闭（向量空间 性质 3、20），故 $W\le (V,+)$。交换群的子群都正规（ 性质 17），故 $W◃V$。

加法陪集就是 左陪集的加法写法。后面反复用性质 16 的这一条：

$$v+W=u+W⟺u-v\in W.$$

特别地，$v+W=W⟺v\in W$。零陪集是 $W$ 自己。

给出陪集加法 $(v+W)+(u+W):=(v+u)+W$，以及：

• $V/W$ 是交换群（性质 10–15）；
• 典范映射 $\pi :V\to V/W$，$\pi (v)=v+W$，是满的群同态，核为 $W$（性质 16）。

到此 $V/W$ 还只是交换群。

3. 数乘：商群没有的部分

规定

$$\alpha (v+W):=(\alpha v)+W.$$

良定义。 若 $v+W=u+W$，则 $v-u\in W$。$W$ 是子空间，故 $\alpha (v-u)\in W$，即 $(\alpha v)+W=(\alpha u)+W$。

加法已是商群。数乘要核的是 向量空间 里的四条。每一条都是：先在代表元上用 $V$ 的公理，再按定义改写成陪集。

证明

$$(\alpha +\beta )(v+W)=((\alpha +\beta )v)+W=(\alpha v+\beta v)+W=\alpha (v+W)+\beta (v+W).$$ $$\alpha (\beta (v+W))=\alpha ((\beta v)+W)=(\alpha (\beta v))+W=(\alpha \beta )(v+W).$$ $$\alpha ((v+W)+(u+W))=(\alpha (v+u))+W=(\alpha v+\alpha u)+W=\alpha (v+W)+\alpha (u+W).$$ $$1\cdot (v+W)=(1\cdot v)+W=v+W.$$

中间用到的陪集加法和数乘都已良定义，所以不依赖于代表元。

于是 $V/W$ 是 $F$ 上的向量空间，称为商空间。

$\pi$ 对加法已是群同态；对数乘，$\pi (\alpha v)=(\alpha v)+W=\alpha (v+W)=\alpha \pi (v)$ 就是定义。故 $\pi$ 线性。

4. 诱导映射与第一同构定理

线性映射 $L:V\to V^{\prime }$ 首先是加法群同态。

若 $W\subseteq \ker L$， 性质 18（取 $H^{\prime }=\{0\}$，把 $V^{\prime }/\{0\}$ 与 $V^{\prime }$ 等同）给出加法群同态

$$\overline{L}:V/W\to V^{\prime },\overline{L}(v+W)=L(v),$$

且 $\overline{L}\circ \pi =L$。它也线性：$\overline{L}(\alpha (v+W))=L(\alpha v)=\alpha L(v)=\alpha \overline{L}(v+W)$。

取 $W=\ker L$。 性质 19 已经给出加法群同构

$$\overline{L}:V/\ker L\stackrel{\sim }{\to }\mathrm{Im}L.$$

上一段说明它还线性，故是向量空间同构。这就是第一同构定理。记号与性质 19 相同：$\gamma =\pi$ 典范同态，$\mu =\overline{L}$ 典范同构，$L=\mu \circ \gamma$。

5. 维数公式

设 $V$ 有限维。则

$$\dim V=\dim W+\dim (V/W).$$

证明

取 $W$ 的基 $\{w_1,\dots ,w_k\}$，扩充为 $V$ 的基 $\{w_1,\dots ,w_k,v_1,\dots ,v_m\}$（向量空间 性质 7）。断言 $\{v_1+W,\dots ,v_m+W\}$ 是 $V/W$ 的基。

生成：任意 $v={\sum }_i{\alpha }_i{w}_i+{\sum }_j{\beta }_j{v}_j$，故 $v+W={\sum }_j{\beta }_j(v_j+W)$。

线性无关：若 ${\sum }_j{\beta }_j(v_j+W)=W$，则 ${\sum }_j{\beta }_j{v}_j\in W$，从而存在 ${\alpha }_i$ 使 ${\sum }_i{\alpha }_i{w}_i-{\sum }_j{\beta }_j{v}_j=0$。
大基线性无关，系数全为零。故 $\dim (V/W)=m=\dim V-\dim W$。

第一同构定理把 向量空间 性质 15 写成 $\mathrm{Im}L\cong V/\ker L$。$\dim (V/W)$ 也叫 $W$ 在 $V$ 中的余维数。