Stone–Weierstrass定理

前置

• 函数序列

定义

设$F=\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$

设 $K$ 是一个紧 Hausdorff 空间。考虑$F$值连续函数空间 $\mathcal{C}(K,F)$，其范数为 $\Vert f\Vert ={\sup }_{x\in K}|f(x)|$。

• （代数，Algebra） 一个子集 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}(K,F)$ 被称为一个 代数，如果它对加法、标量乘法（$F$中的数）和乘法封闭：

  • 若 $f,g\in \mathcal{A}$，则 $f+g\in \mathcal{A}$。
  • 若 $f\in \mathcal{A},c\in \mathbb{C}$，则 $cf\in \mathcal{A}$。
  • 若 $f,g\in \mathcal{A}$，则 $fg\in \mathcal{A}$。

• （分离点，Separates points） 我们说代数 $\mathcal{A}$ 分离点，如果对于任意两个不同的点 $x,y\in K$，存在一个函数 $f\in \mathcal{A}$ 使得 $f(x)\ne f(y)$。

  如果 $K$ 不是 Hausdorff 的，那么存在两个不同的点 $x\ne y$，但它们不可能被开集分开（即它们“黏在一起”）。此时，任何连续函数 $f$ 都必须满足 $f(x)=f(y)$（因为连续函数不能分离非 Hausdorff 点）。

• （包含常数函数，Contains constants） 我们说 $\mathcal{A}$ 包含常数函数，如果对于每个$F$中的常数 $c\in F$，函数 $c$（即对所有 $x\in K$ 有 $f(x)=c$）属于 $\mathcal{A}$。

  在 Stone–Weierstrass 的标准陈述中，只要 $\mathcal{A}$ 包含非零常数函数（通常是 $f(x)=1$）即可，结合代数的标量乘法性质，所有的常数函数自然都在其中。

• （复共轭封闭，Closed under complex conjugation） 我们说 $\mathcal{A}$ 对$F$共轭封闭，如果对于每个 $f\in \mathcal{A}$，其$F$共轭函数 $\overline{f}$（定义为 $\overline{f}(x)=\overline{f(x)}$）也属于 $\mathcal{A}$。

  这是复值情况下强加的一个重要条件。对于实值情况（$\mathcal{C}(K,\mathbb{R})$），这个条件自动满足（因为 $\overline{f}=f$）。

• （一致闭包，Uniform closure） 一个代数 $\mathcal{A}$ 的 一致闭包 $\overline{\mathcal{A}}$ 是包含 $\mathcal{A}$ 的最小一致闭集（即度量空间 $\mathcal{C}(K,F)$ 下的闭包）。

Weierstrass 逼近定理

定理陈述：
设 $f\in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$，则对于任意 $ϵ>0$，存在多项式 $P(x)$ 使得：

${\sup }_{x\in [0,1]}|f(x)-P(x)|<ϵ$

构造 Bernstein 多项式

对于定义在 $[0,1]$ 上的函数 $f$，我们定义第 $n$ 阶 Bernstein 多项式为：

$B_n(f;x)={\sum }_{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}$

为了简化符号，令 $p_{n,k}(x)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}$。这些项本质上是二项分布 $B(n,x)$ 的概率质量函数，因此它们满足：

1. ${\sum }_{k=0}^n{p}_{n,k}(x)=(x+(1-x){)}^n=1$
2. ${\sum }_{k=0}^n\frac{k}{n}{p}_{n,k}(x)=x$
3. ${\sum }_{k=0}^n{\left(\frac{k}{n}-x\right)}^2{p}_{n,k}(x)=\frac{x(1-x)}{n}$

这三个等式本质上是对二项式展开的应用。我们从二项式定理开始：

$(x+y{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n-k}$

为了方便计算，我们令 $y=1-x$，并记 $p_{n,k}(x)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}$。

---

证明 ${\sum }_{k=0}^n{p}_{n,k}(x)=1$

直接在二项式公式中代入 $y=1-x$：

${\sum }_{k=0}^n{p}_{n,k}(x)={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}=(x+(1-x){)}^n=1^n=1$

证明 ${\sum }_{k=0}^n\frac{k}{n}{p}_{n,k}(x)=x$

我们需要求 $k$ 的一次加权和。利用恒等式 $k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)$：

${\sum }_{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}={\sum }_{k=1}^{n}n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})x^k(1-x{)}^{n-k}$

（注意 $k=0$ 时项为 0，所以求和从 $1$ 开始）

提取公因子 $nx$：

$=nx{\sum }_{k=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)x^{k-1}(1-x{)}^{(n-1)-(k-1)}$

令 $j=k-1$：

$=nx{\sum }_{j=0}^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{j}\right)x^j(1-x{)}^{(n-1)-j}=nx\cdot (x+(1-x){)}^{n-1}=nx\cdot 1=nx$

最后两边除以 $n$：

${\sum }_{k=0}^n\frac{k}{n}{p}_{n,k}(x)=\frac{1}{n}(nx)=x$

证明 ${\sum }_{k=0}^n{\left(\frac{k}{n}-x\right)}^2{p}_{n,k}(x)=\frac{x(1-x)}{n}$

先展开平方项：

${\left(\frac{k}{n}-x\right)}^2=\frac{k^2}{n^2}-2x\frac{k}{n}+x^2$

于是求和式变为：

$\frac{1}{n^2}\sum k^2{p}_{n,k}-2x\sum \frac{k}{n}{p}_{n,k}+x^2\sum p_{n,k}$

利用前面的结果，后两项为 $-2x(x)+x^2(1)=-x^2$。现在只需计算 $\sum k^2{p}_{n,k}$。
利用技巧 $k^2=k(k-1)+k$：

${\sum }_{k=0}^{n}k(k-1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}={\sum }_{k=2}^{n}n(n-1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{k-2})x^k(1-x{)}^{n-k}$

提取 $n(n-1)x^2$：

$=n(n-1)x^2{\sum }_{j=0}^{n-2}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{j}\right)x^j(1-x{)}^{n-2-j}=n(n-1)x^2$

所以：

$\sum k^2{p}_{n,k}=\sum (k(k-1)+k)p_{n,k}=n(n-1)x^2+nx$

代入总式：

$\begin{array}{rl}\text{原式}& =\frac{n(n-1)x^2+nx}{n^2}-x^2\\ & =\frac{n^2{x}^2-n{x}^2+nx}{n^2}-x^2\\ & =\left(x^2-\frac{x^2}{n}+\frac{x}{n}\right)-x^2\\ & =\frac{x-x^2}{n}=\frac{x(1-x)}{n}\end{array}$

Q.E.D.

利用一致连续性

由于 $[0,1]$ 是紧集，连续函数 $f$ 在其上一致连续。
即对于任意 $ϵ>0$，存在 $\delta >0$，使得当 $|x-y|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(y)|<\frac{ϵ}{2}$。
同时，由于 $f$ 连续，它在 $[0,1]$ 上是有界的，设 $|f(x)|\le M$。

估计误差 $|f(x)-B_n(f;x)|$

利用 $\sum p_{n,k}(x)=1$，我们可以写出：

$|f(x)-B_n(f;x)|=\left|{\sum }_{k=0}^n(f(x)-f(k/n))p_{n,k}(x)\right|\le {\sum }_{k=0}^n|f(x)-f(k/n)|p_{n,k}(x)$

我们将求和索引 $k$ 分为两个集合：

• 集合 $A$：满足 $|\frac{k}{n}-x|<\delta$ 的 $k$。
• 集合 $B$：满足 $|\frac{k}{n}-x|\ge \delta$ 的 $k$。

对于集合 $A$（邻域内）：

根据一致连续性，$|f(x)-f(k/n)|<\frac{ϵ}{2}$。

${\sum }_{k\in A}|f(x)-f(k/n)|p_{n,k}(x)<\frac{ϵ}{2}{\sum }_{k\in A}{p}_{n,k}(x)\le \frac{ϵ}{2}$

对于集合 $B$（邻域外）：

此时 $|f(x)-f(k/n)|\le 2M$。根据定义，$|\frac{k}{n}-x|\ge \delta$ 等价于 $\frac{(k/n-x{)}^2}{{\delta }^2}\ge 1$。

${\sum }_{k\in B}|f(x)-f(k/n)|p_{n,k}(x)\le 2M{\sum }_{k\in B}{p}_{n,k}(x)\le \frac{2M}{{\delta }^2}{\sum }_{k\in B}{\left(\frac{k}{n}-x\right)}^2{p}_{n,k}(x)$

利用步骤 1 中的方差公式：

$\frac{2M}{{\delta }^2}{\sum }_{k\in B}\cdots \le \frac{2M}{{\delta }^2}\cdot \frac{x(1-x)}{n}$

由于 $x(1-x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值是 $1/4$，所以：

${\text{误差}}_B\le \frac{2M}{{\delta }^2}\cdot \frac{1}{4n}=\frac{M}{2n{\delta }^2}$

完成证明

现在合并两部分误差：

$|f(x)-B_n(f;x)|<\frac{ϵ}{2}+\frac{M}{2n{\delta }^2}$

只要我们选取足够大的 $n$（使得 $n>\frac{M}{ϵ{\delta }^2}$），第二项也会小于 $\frac{ϵ}{2}$。
从而对于所有的 $x\in [0,1]$：

$|f(x)-B_n(f;x)|<ϵ$

这意味着 Bernstein 多项式序列 $B_n(f;x)$ 一致收敛于 $f(x)$。

关于区间 $[a,b]$ 的说明

如果函数定义在一般的闭区间 $[a,b]$ 上，只需通过线性变换 $t=\frac{x-a}{b-a}$ 将其映射到 $[0,1]$ 即可。这一变换不改变函数的连续性和多项式的性质。

证毕。

实值 Stone–Weierstrass 定理

利用 Weierstrass 逼近定理处理绝对值

我们需要证明：如果 $f\in \overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}$，那么 $|f|\in \overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}$。

1. 设 $f\in \overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}$，令 $M=\Vert f\Vert$。
2. 考虑实函数 $\varphi (t)=|t|$，它在区间 $[-M,M]$ 上连续。
3. 调用 Weierstrass 逼近定理：对于任意 $ϵ>0$，存在一个多项式 $P(t)={\sum }_{k=0}^n{c}_k{t}^k$ 使得在 $[-M,M]$ 上 $|P(t)-|t||<ϵ$。
4. 由于 $\overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}$ 是一个代数且包含常数，因此 $P(f)=\sum c_k{f}^k$ 仍然属于 $\overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}$。
5. 这意味着我们可以用 $\overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}$ 中的元素一致逼近 $|f|$。由于 $\overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}$ 是闭的，故 $|f|\in \overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}$。

格（Lattice）性质与局部线性逼近

有了绝对值，我们就可以构造“最大值”和“最小值”函数：

$\max (f,g)=\frac{f+g+|f-g|}{2},\min (f,g)=\frac{f+g-|f-g|}{2}$

这说明 $\overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}$ 对 $\max$ 和 $\min$ 运算封闭。

局部两点插值

对于任意 $x_1,x_2\in K$ 及任意实数 $a,b$，由于 ${\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$ 分离点且含常数，我们可以构造 $h\in {\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$ 使得 $h(x_1)=a$ 且 $h(x_2)=b$。

构造法：取 $g\in {\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$ 使得 $g(x_1)\ne g(x_2)$，令 $h(x)=a\frac{g(x)-g(x_2)}{g(x_1)-g(x_2)}+b\frac{g(x)-g(x_1)}{g(x_2)-g(x_1)}$。

从点到全局的逼近

设 $f\in \mathcal{C}(K,\mathbb{R})$ 及 $ϵ>0$：

• 固定 $x$，逼近 $y$：对于每个 $x\in K$，对每一个 $y\in K$，存在 $h_{x,y}\in {\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$ 使得 $h_{x,y}(x)=f(x)$ 且 $h_{x,y}(y)=f(y)$。
• 由于连续性，存在 $y$ 的邻域 $U_y$ 使得在 $U_y$ 内 $h_{x,y}(z)>f(z)-ϵ$。
• 利用 $K$ 的紧致性，有限个这样的 $h_{x,y}$ 的 $\max$（记作 $H_x$）满足：$H_x(x)=f(x)$ 且对所有 $z\in K$ 有 $H_x(z)>f(z)-ϵ$。
• 同理，对 $H_x$ 在 $x$ 附近取 $\min$。存在 $x$ 的邻域 $V_x$ 使得在 $V_x$ 内 $H_x(z)<f(z)+ϵ$。
• 再次利用紧致性，有限个 $H_x$ 的 $\min$（记作 $H$）将满足：对所有 $z\in K$，

$f(z)-ϵ<H(z)<f(z)+ϵ$

总结

由于 $H$ 是通过有限次 $\max$ 和 $\min$ 运算得到的，且每次运算的对象都在 $\overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}$ 中，因此 $H\in \overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}$。

Q.E.D.

复值 Stone–Weierstrass 定理

定理 (Stone–Weierstrass, 复值版本)：
设 $K$ 是一个紧致 Hausdorff 空间，且 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}(K,\mathbb{C})$ 是一个代数。
如果 $\mathcal{A}$ 满足以下条件：

1. 分离点：对于任意 $x\ne y\in K$，存在 $f\in \mathcal{A}$ 使得 $f(x)\ne f(y)$。
2. 包含常数函数：$1\in \mathcal{A}$（即常函数1属于 $\mathcal{A}$）。
3. 复共轭封闭：若 $f\in \mathcal{A}$，则 $\overline{f}\in \mathcal{A}$。

那么 $\mathcal{A}$ 在 $\mathcal{C}(K,\mathbb{C})$ 中 一致稠密，即 $\overline{\mathcal{A}}=\mathcal{C}(K,\mathbb{C})$。

构造实代数部分

设 ${\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$ 是 $\mathcal{A}$ 中所有实值函数构成的集合：

${\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}=\{f\in \mathcal{A}\mid f(x)\in \mathbb{R},\forall x\in K\}$

我们需要证明 ${\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$ 满足实值 Stone–Weierstrass 定理的所有条件：

• 是一个代数：
  由于 $\mathcal{A}$ 是 $\mathbb{C}$ 上的代数，且两个实值函数的加法、实标量乘法、乘法结果仍为实值函数，故 ${\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的代数。
• 包含常数函数：
  已知 $1\in \mathcal{A}$。由于 $1$ 是实值的，故 $1\in {\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$。
• 分离点：
  这是最关键的一步。对于任意 $x,y\in K$ 且 $x\ne y$，由已知条件存在 $f\in \mathcal{A}$ 使得 $f(x)\ne f(y)$。
  令 $f=u+iv$，其中 $u,v$ 分别是 $f$ 的实部和虚部：

$u=\frac{f+\overline{f}}{2},v=\frac{f-\overline{f}}{2i}$

由于 $\mathcal{A}$ 对复共轭封闭（$\overline{f}\in \mathcal{A}$）且对标量乘法封闭，所以 $u\in \mathcal{A}$ 且 $v\in \mathcal{A}$。又因为 $u,v$ 显然是实值的，故 $u,v\in {\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$。
因为 $f(x)\ne f(y)$，则必须有 $u(x)\ne u(y)$ 或 $v(x)\ne v(y)$。
这说明实代数 ${\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$ 同样能够分离点。

应用实值定理

根据实值 Stone–Weierstrass 定理，${\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$ 在实连续函数空间 $\mathcal{C}(K,\mathbb{R})$ 中是一致稠密的。
即：

$\overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}=\mathcal{C}(K,\mathbb{R})$

完成复值逼近

现在考虑任意复值连续函数 $g\in \mathcal{C}(K,\mathbb{C})$。
我们可以将其分解为实部和虚部：

$g(x)=u(x)+iv(x)$

其中 $u,v\in \mathcal{C}(K,\mathbb{R})$。

对于任意 $ϵ>0$：

1. 由于 $\overline{{\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}}=\mathcal{C}(K,\mathbb{R})$，存在 $u_{\mathcal{A}}\in {\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$ 使得 $\Vert u-u_{\mathcal{A}}\Vert <\frac{ϵ}{2}$。
2. 同理，存在 $v_{\mathcal{A}}\in {\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}$ 使得 $\Vert v-v_{\mathcal{A}}\Vert <\frac{ϵ}{2}$。

构造函数 $g_{\mathcal{A}}=u_{\mathcal{A}}+i{v}_{\mathcal{A}}$。
由于 $u_{\mathcal{A}},v_{\mathcal{A}}\in {\mathcal{A}}_{\mathbb{R}}\subseteq \mathcal{A}$，且 $\mathcal{A}$ 是 $\mathbb{C}$ 上的代数，故 $g_{\mathcal{A}}\in \mathcal{A}$。

计算误差：

$\Vert g-g_{\mathcal{A}}\Vert =\Vert (u-u_{\mathcal{A}})+i(v-v_{\mathcal{A}})\Vert \le \Vert u-u_{\mathcal{A}}\Vert +\Vert v-v_{\mathcal{A}}\Vert <\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$

这证明了 $\mathcal{A}$ 在 $\mathcal{C}(K,\mathbb{C})$ 中一致稠密。

Q.E.D.