随机过程

1. 前置

• 积空间sigma代数

2. Stochastic process

• 设$(\Omega ,\mathcal{F},P)$为概率空间，$(E,\mathcal{E})$ 为可测空间，$\{X_t:t\in T\}$ 为一族从$(\Omega ,\mathcal{F})$到$(E,\mathcal{E})$的可测映射，则称$\{X_t:t\in T\}$为随机过程（Stochastic Process）。这个随机过程也被记作$\{X(t,\omega ):t\in T\}$

指标集T 通常是一个全序集

可测映射$X_t$通常为随机元或随机变量

• 对于一个随机过程$\{X_t:t\in T\}$，当固定$\omega \in \Omega$，以$t$为自变量时，$X(\cdot ,\omega )$被称为样本函数（Sample Function）(又称path, realization, trajectory, path function)。

基于样本函数的定义，我们也可以将随机过程看作是从$\Omega$到$E^T$的可测映射，即$X:\Omega \to E^T$。

对于一个定义在概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上的随机过程 $X:\Omega \to E^T$，$X$ 的Law 定义为推前测度（Pushforward Measure）：

$\mu =P\circ X^{-1},$

For a measurable subset $B$ of $E^T$, the pre-image of $X$ gives

$X^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\},$

so the law of a $X$ can be written as:

$\mu (B)=P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\}).$

The law of a stochastic process or a random variable is also called the probability law, probability distribution, or the distribution.

3. 随机过程的可测性

要证明随机过程

$$X:\Omega \to E^T,\omega \mapsto (t\mapsto X_t(\omega ))$$

是可测的，关键在于：

给 $(E^T)$ 配备什么 $\sigma$-代数。

通常不会直接给 $(E^T)$ 一个“很大”的 $\sigma$-代数，而是使用product $\sigma$-algebra。

记 ${\pi }_t:E^T\to E$ 为坐标投影。对任意 $t\in T$，

$({\pi }_t\circ X)(\omega )={\pi }_t(X(\omega ))=X(\omega )(t)=X_t(\omega ),$

即 ${\pi }_t\circ X=X_t$。由随机过程定义，每个 $X_t:(\Omega ,\mathcal{F})\to (E,\mathcal{E})$ 可测，故 ${\pi }_t\circ X$ 对一切 $t\in T$ 可测。

由积 $\sigma$-代数的泛性质，$X:(\Omega ,\mathcal{F})\to (E^T,{\mathcal{E}}^{\otimes T})$ 可测。