相互奇异与Lebesgue分解定理

前置

• 绝对连续与Radon-Nikodým定理

定义

• 定义 8.26 设 $\nu ,\phi$ 都是 $\mathcal{F}$ 上的符号测度，称 $\nu$ 与 $\phi$ 相互奇异 (mutually singular)，记作 $\nu \perp \phi$，如果 $\exists N\in \mathcal{F}$，s.t.

$|\nu |(N)=0,|\phi |(N^c)=0.$

性质

1. 绝对连续 $\pm$ 绝对连续 $=$ 绝对连续
   设 ${\nu }_1,{\nu }_2,\mu ,{\nu }_1\pm {\nu }_2$ 为符号测度
   $\text{若 }{\nu }_1\ll \mu \text{ 且 }{\nu }_2\ll \mu ，\text{则 }({\nu }_1\pm {\nu }_2)\ll \mu$
2. 奇异 $\pm$ 奇异 $=$ 奇异
   设 ${\nu }_1,{\nu }_2,\mu ,{\nu }_1\pm {\nu }_2$ 为符号测度。
   $\text{若 }{\nu }_1\perp \mu \text{ 且 }{\nu }_2\perp \mu ，\text{则 }({\nu }_1\pm {\nu }_2)\perp \mu$
3. 绝对连续性的局部遗传性 (Local Heredity of Absolute Continuity)：设 $\mu$ 为测度，$\nu$ 为符号测度。若 $\nu \ll \mu$，则对于任意可测子集 $E\in \mathcal{F}$，限制测度依然满足绝对连续性，即：
   $\nu |{}_E\ll \mu |{}_E$
4. 相互奇异性的局部遗传性 (Local Heredity of Mutual Singularity)：设 $\nu ,\phi$ 为符号测度。若 $\nu \perp \phi$，则对于任意可测子集 $E\in \mathcal{F}$，限制测度依然保持相互奇异，即：
   $\nu |{}_E\perp \phi |{}_E$
5. 设 $\nu$ 是 $\mathcal{F}$ 上的符号测度，则 ${\nu }^{+}\perp {\nu }^{-}$。
6. $\nu \perp \phi ⟺\exists N\in \mathcal{F}$，s.t. $|\nu |(N)=0$，且 $\phi (A\cap N^c)=0$，$A\in \mathcal{F}$.
7. 若 $\nu \ll \phi$，且 $\nu \perp \phi$，则 $\nu \equiv 0$。
8. 定理 8.28 若 $\mu$ 为 $\mathcal{F}$ 上的 $\sigma$-有限测度，$\nu$ 为 $\mathcal{F}$ 上的 $\sigma$-有限符号测度，则存在两个 $\sigma$-有限符号测度 ${\nu }_{ac}$ 和 ${\nu }_s$，使得
   $\nu ={\nu }_{ac}+{\nu }_s$且
   ${\nu }_{ac}\ll \mu ,{\nu }_s\perp \mu ,$
   并且这种分解是唯一的，称此分解式为 $\nu$ 的 Lebesgue 分解，${\nu }_{ac}$ 称为 $\nu$ 的绝对连续部分，${\nu }_s$ 称为 $\nu$ 的奇异部分。