主理想：If R is a commutative ring with unity and a∈R, the ideal {ra∣r∈R} of all multiples of a is the principal ideal generated by ⟨a⟩ and is denoted by a. An ideal N of R is a principal ideal if N=⟨a⟩ for some a∈R.
理想：An additive subgroup I of the ring R is an ideal if ∀a∈I,r∈R,ar∈I∧ra∈I，记作I◃R
极大理想：称I◃R是极大理想，若不存在理想J◃R使得{0}≤I<J≤R
单环：称R是单环，若不存在理想I◃R使得{0}<I<R
素理想：称I◃R是素理想，若I是R的真理想且ab∈I→a∈I∨b∈I
设n为自然数，R是一个环，n1:=1+1+⋯+1（n个1相加）。
环的特征（charactristic）: 对于环 R，如果存在一个最小的非零自然数 n，使得对于所有 a∈R，都有 na=0，则称 n 为环 R 的特征。如果不存在这样的n，则称环 R 的特征为 0.
性质
0a=a0=0
a(−b)=(−a)b=−ab,(−a)(−b)=ab
一个环的加法单位元等于乘法单位元⟺R={0}
子环判定：S≤R⟺∀a,b∈S,a−b,ab∈S
子域判定：S≤F⟺∀a,b∈S(a−b∈S∧((b=0)→ab−1∈S))
环R有乘法消去律等价于无零因子
环R 的所有有乘法逆元的元素构成一个群
环有乘法交换律等价于环有平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)
给一个交换群，对群中的所有元素规定乘法ab=0，那么这个交换群和新规定的乘法构成一个环
环中的乘法逆元是唯一的
子环的交是子环，子域的交是子域
环的乘法单位元不一定等于子环的乘法单位元，域中的乘法单位元等于子域中的乘法单位元。
线性方程组的解{x∈R∣ax=0}是一个 R 的子环
加法群+非 0 元素构成乘法群+乘法对加法有分配律 ⟹ 除环
如果一个环有幂等律a2=a(将这个环称为 Boolean ring),那么这个环是交换环
一个集合上的幂集+对称差（加法）+交（乘法）⟹ Boolean ring
若R为交换幺环，则有二项式定理：设 R 是一个交换幺环。对于任何 a,b∈R 以及正整数 n∈N，有：(a+b)n=∑k=0n(kn)an−kbk其中 (kn)=k!(n−k)!n! 是整数，在环中表示元素的加法倍数。