Rn与代数与格

1. 前置

• 代数
• 格
• 有限维赋范线性空间

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2. ${\mathbb{R}}^n$ 在逐点乘法下是一个 Banach 代数

2.1. 代数结构的定义与验证

设 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$。我们定义 ${\mathbb{R}}^n$ 上的逐点乘法（或称分量乘法）为：

$x\cdot y=(x_1{y}_1,x_2{y}_2,\dots ,x_n{y}_n)$

显然，对任意 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$，其乘积 $x\cdot y\in {\mathbb{R}}^n$ 依然成立（对乘法封闭）。验证代数公理：结合律：

$((x\cdot y)\cdot z{)}_i=(x_i{y}_i)z_i=x_i(y_i{z}_i)=(x\cdot (y\cdot z){)}_i$

分配律：
$(x\cdot (y+z){)}_i=x_i(y_i+z_i)=x_i{y}_i+x_i{z}_i=(x\cdot y+x\cdot z{)}_i$
（同理可证左分配律）与标量乘法相容（设 $c\in \mathbb{R}$）：

$(c(x\cdot y){)}_i=c(x_i{y}_i)=(c{x}_i)y_i=((cx)\cdot y{)}_i$

$(c(x\cdot y){)}_i=x_i(c{y}_i)=(x\cdot (cy){)}_i$

额外性质：由于实数乘法交换，它是一个交换代数。此外，若引入单位元 $1=(1,1,\dots ,1)$，则有 $1\cdot x=x\cdot 1=x$，它还是一个含幺代数。

2.2. 赋范代数验证

并为所有的范数都能满足次可乘性：例如$\Vert x{\Vert }_{bad}=100|x_1|+0.01|x_2|$就不满足次可乘性。

下面证明${\ell }^p$范数与${\ell }^{\infty }$范数满足次可乘性

2.2.1. 一般 ${\ell }^p$ 范数的证明

对于任意 $p\ge 1$，定义 ${\ell }^p$ 范数为 $\Vert x{\Vert }_p={\left({\sum }_{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p}$。考察乘积的范数的 $p$ 次方：

$\Vert x\cdot y{\Vert }_p^p={\sum }_{i=1}^n|x_i{y}_i{|}^p={\sum }_{i=1}^n|x_i{|}^p|y_i{|}^p$

对于每一个分量 $|y_i{|}^p$，它显然不可能超过全体分量的 $p$ 次方和。也就是说：

$$\text{对任意 }i,|y_i{|}^p\le \sum _{j=1}^n|y_j{|}^p=\Vert y{\Vert }_p^p$$

将这个放大关系代入到求和式中：

$$\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p|y_i{|}^p\le \sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\cdot \Vert y{\Vert }_p^p$$

因为 $\Vert y{\Vert }_p^p$ 是一个与求和指标 $i$ 无关的常数，可以把它提到求和号外面：

${\sum }_{i=1}^n|x_i{|}^p\cdot \Vert y{\Vert }_p^p=\Vert y{\Vert }_p^p\left({\sum }_{i=1}^n|x_i{|}^p\right)=\Vert y{\Vert }_p^p\cdot \Vert x{\Vert }_p^p$

两边同时开 $p$ 次方根（因为 $p\ge 1$ 且所有项非负，开方保持不等号方向）：

$\Vert x\cdot y{\Vert }_p\le \Vert x{\Vert }_p\Vert y{\Vert }_p$

Q.E.D.

2.2.2. ${\ell }^{\infty }$ 范数（上确界范数）的证明

$\Vert x{\Vert }_{\infty }={\max }_{1\le i\le n}|x_i|$。

$\Vert x\cdot y{\Vert }_{\infty }={\max }_{1\le i\le n}|x_i{y}_i|={\max }_{1\le i\le n}(|x_i|\cdot |y_i|)$

由于对任意 $i$，都有 $|x_i|\le {\max }_j|x_j|=\Vert x{\Vert }_{\infty }$ 且 $|y_i|\le {\max }_j|y_j|=\Vert y{\Vert }_{\infty }$，因此：

$|x_i|\cdot |y_i|\le \Vert x{\Vert }_{\infty }\cdot \Vert y{\Vert }_{\infty }$

取最大值后，次可乘性依然成立：

$\Vert x\cdot y{\Vert }_{\infty }\le \Vert x{\Vert }_{\infty }\Vert y{\Vert }_{\infty }$
因此，$({\mathbb{R}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ 是一个赋范代数。

Q.E.D.

因此，$({\mathbb{R}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_p)$ 和 $({\mathbb{R}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ 都是赋范代数。

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2.3. 范数所诱导的度量的完备性验证

有限维赋范线性空间必然是完备的（即一定是 Banach 空间）。

3. ${\mathbb{R}}^n$ 是一个Banach 格

首先，将 ${\mathbb{R}}^n$ 视为实向量空间，并赋予逐点序（即分量序）：

$$x\le y⟺x_i\le y_i\text{对每个 }i=1,\dots ,n$$

在这个偏序下，对任意 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$：

• 上确界 是逐点取 $\max$： $$x\vee y=(\max (x_1,y_1),\dots ,\max (x_n,y_n))$$
• 下确界 是逐点取 $\min$： $$x\wedge y=(\min (x_1,y_1),\dots ,\min (x_n,y_n))$$

显然这两个运算的结果仍在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，所以 ${\mathbb{R}}^n$ 是一个格。

• 加法平移不变性：若 $x\le y$，则对任意 $z$，$(x+z{)}_i=x_i+z_i\le y_i+z_i=(y+z{)}_i$，故 $x+z\le y+z$。
• 正标量乘法不变性：若 $x\le y$ 且 $c\ge 0$，则 $c{x}_i\le c{y}_i$，故 $cx\le cy$。

在向量格中，绝对值被定义为：

$$|x|=x\vee (-x)$$

在 ${\mathbb{R}}^n$ 的逐点序下，这正好是逐点取绝对值：

$$(|x|)\_i=|x_i|$$

这正是我们熟悉的绝对值函数。

因此，${\mathbb{R}}^n$ 是一个向量格（Riesz 空间）。

${\mathbb{R}}^n$ 是一个 Banach 格

$$\text{若 }|x|\le |y|,\text{则 }\Vert x\Vert \le \Vert y\Vert$$

这里 $|x|\le |y|$ 的意思是逐点 $|x_i|\le |y_i|$ 对所有 $i$ 成立。

常见范数的验证：

• ${\ell }^1$ 范数：
  $\Vert x{\Vert }_1={\sum }_i|x_i|\le {\sum }_i|y_i|=\Vert y{\Vert }_1$

• ${\ell }^{\infty }$ 范数：
  $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\max }_i|x_i|\le {\max }_i|y_i|=\Vert y{\Vert }_{\infty }$

• ${\ell }^p$ 范数（$p\ge 1$）：
  $\Vert x{\Vert }_p=({\sum }_i|x_i{|}^p{)}^{1/p}\le ({\sum }_i|y_i{|}^p{)}^{1/p}=\Vert y{\Vert }_p$
  （因为每个分量 $|x_i{|}^p\le |y_i{|}^p$）

由于 ${\mathbb{R}}^n$ 是有限维的，在这些范数下都是完备的，因此它是一个 Banach 格。