有限维赋范线性空间

前置

• 向量空间
• 度量空间

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证明：有限维赋范线性空间必然是完备的

“范数等价”？

在线性空间 $X$ 上，如果两个范数 $\Vert \cdot {\Vert }_a$ 和 $\Vert \cdot {\Vert }_b$ 满足：存在两个正常数 $m,M>0$，使得对任意的 $x\in X$，都有：

$m\Vert x{\Vert }_a\le \Vert x{\Vert }_b\le M\Vert x{\Vert }_a$

则称这两个范数是等价的。并且这种等价构成一种等价关系。

等价的范数所诱导的度量所诱导的拓扑是相同的

选定参考范数

设 $X$ 是一个 $n$ 维赋范线性空间
设 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 是 $X$ 的一组基。那么任何向量 $x\in X$ 都可以唯一地表示为：

$x={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{e}_i({\alpha }_i\in \mathbb{R})$

在这组基下，定义一个最简单的标准参考范数—— $l_1$ 范数 $\Vert \cdot {\Vert }_1$：

$\Vert x{\Vert }_1={\sum }_{i=1}^n|{\alpha }_i|$

接下来，任取 $X$ 上的一个任意范数 $\Vert \cdot \Vert$，只需严格证明：存在 $m,M>0$ 使得 $m\Vert x{\Vert }_1\le \Vert x\Vert \le M\Vert x{\Vert }_1$。

寻找上界与下界

证明右半部分 $\Vert x\Vert \le M\Vert x{\Vert }_1$ （寻找上界 $M$）

利用范数的三角不等式和齐次性，直接放大：

$\Vert x\Vert =\Vert {\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{e}_i\Vert \le {\sum }_{i=1}^n\Vert {\alpha }_i{e}_i\Vert ={\sum }_{i=1}^n|{\alpha }_i|\cdot \Vert e_i\Vert$

令 $M={\max }_{1\le i\le n}\Vert e_i\Vert$。因为基向量是固定的，所以 $M$ 显然是一个确定的正有限常数。于是：

$\Vert x\Vert \le M{\sum }_{i=1}^n|{\alpha }_i|=M\Vert x{\Vert }_1$

这一步证明了任意范数在 $l_1$ 范数下是有上界的，同时也说明了函数 $f(x)=\Vert x\Vert$ 关于 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 拓扑是连续的。

证明左半部分 $m\Vert x{\Vert }_1\le \Vert x\Vert$ （寻找下界 $m$）

这里需要用到“连续函数在有界闭集上能达到最小值”的性质。

考虑在 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 范数下的单位球面 $S$：

$S=\{x\in X\mid \Vert x{\Vert }_1=1\}$

1. $S$ 是紧集：在系数空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中，${\sum }_{i=1}^n|{\alpha }_i|=1$ 对应的集合显然是有界闭集。根据 Heine-Borel 定理，它在 ${\mathbb{R}}^n$ 里是紧集。因为 $X$ 与 ${\mathbb{R}}^n$ 在此处拓扑同构，所以 $S$ 在 $l_1$ 拓扑下也是紧集。
2. 函数连续：由第一步已证的 $\Vert x-y\Vert \le M\Vert x-y{\Vert }_1$ 可知，映射 $f(x)=\Vert x\Vert$ 是从赋范空间 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ 到 $\mathbb{R}$ 的连续函数。
3. 存在最小值：根据连续函数在紧集上必能达到最大值和最小值的定理，$f(x)=\Vert x\Vert$ 在单位球面 $S$ 上必然能达到最小值。也就是说，存在某个 $x_0\in S$，使得：

$m={\inf }_{x\in S}\Vert x\Vert =\Vert x_0\Vert$

4. 最小值大于 0：因为 $x_0\in S$，这意味着 $\Vert x_0{\Vert }_1=1$，所以 $x_0\ne 0$（非零向量）。根据范数的正定性，必然有 $m=\Vert x_0\Vert >0$。

既然对于所有属于单位球面 $S$ 的向量（即 $\Vert x{\Vert }_1=1$ 的向量），都有 $\Vert x\Vert \ge m$。
那么对于任意的非零向量 $x\in X$，由于 $\frac{x}{\Vert x{\Vert }_1}\in S$，有：

$\Vert \frac{x}{\Vert x{\Vert }_1}\Vert \ge m⟹\frac{\Vert x\Vert }{\Vert x{\Vert }_1}\ge m⟹\Vert x\Vert \ge m\Vert x{\Vert }_1$

（当 $x=0$ 时，不等式显然也成立）。

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综合第一步和第二步，证明了：存在非负常数 $m,M>0$，使得：

$m\Vert x{\Vert }_1\le \Vert x\Vert \le M\Vert x{\Vert }_1$

这说明任意范数 $\Vert \cdot \Vert$ 都与 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 等价。
如果有两个任意范数 $\Vert \cdot {\Vert }_a$ 和 $\Vert \cdot {\Vert }_b$，它们都等价于 $\Vert \cdot {\Vert }_1$，那么由于等价关系的传递性，$\Vert \cdot {\Vert }_a$ 和 $\Vert \cdot {\Vert }_b$ 必然也互相等价。

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设 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 是 $n$ 维实线性空间 $X$ 的一组基。对于任意向量 $x={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{e}_i\in X$，我们在 $X$ 上引入参考的 ${\ell }_2$ 范数：

$\Vert x{\Vert }_2={\left({\sum }_{i=1}^n|{\alpha }_i{|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$

首先，建立映射 $T:({\mathbb{R}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_{{\mathbb{R}}^n,2})\to (X,\Vert \cdot {\Vert }_2)$，将 ${\mathbb{R}}^n$ 中的标准系数向量 $\alpha =({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ 映射为 $X$ 中的向量 $x$。根据定义，该映射显然满足：

$\Vert T(\alpha ){\Vert }_2=\Vert x{\Vert }_2=\Vert \alpha {\Vert }_{{\mathbb{R}}^n,2}$

这表明 $T$ 是一个线性等距同构。由于等距映射保持距离结构不变，它必然保持柯西序列和极限的对应性（即保持度量空间的完备性）。
而标准欧氏空间 $({\mathbb{R}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_{{\mathbb{R}}^n,2})$ 的完备性是经典的已知事实，因此，赋范空间 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 也必然是完备的。
进而，根据前面已证的等价范数定理，空间 $X$ 上的任意范数 $\Vert \cdot \Vert$ 都与此 ${\ell }_2$ 范数 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 等价（即存在正常数 $m,M>0$，使得 $m\Vert x{\Vert }_2\le \Vert x\Vert \le M\Vert x{\Vert }_2$ 恒成立）。既然 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 是完备的，则 $X$ 在任意范数 $\Vert \cdot \Vert$ 下也必然完备。综上所述，有限维赋范线性空间必然是 Banach 空间。