一些标准的级数

前置

• 级数

几何级数

设 $0\le r<1$。则非负级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }{r}^n$$

收敛，并且

$$\sum _{n=0}^{\infty }{r}^n=\frac{1}{1-r}.$$

证明：

设

$$s_N=\sum _{n=0}^N{r}^n.$$

当 $r=0$ 时结论显然。若 $0<r<1$，由有限等比和公式得

$$s_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.$$

由于 $0<r<1$ 时 $r^{N+1}\to 0$，于是

$$s_N\to \frac{1}{1-r}.$$

所以几何级数收敛，且其和为 $\frac{1}{1-r}$。

指数级数

对任意 $x\ge 0$，非负级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$

收敛。

证明：

若 $x=0$，则

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1.$$

下面设 $x>0$。取整数 $N\ge 0$，使得当 $n\ge N$ 时

$$\frac{x}{n+1}\le \frac{1}{2}.$$

令

$$u_n=\frac{x^n}{n!}.$$

则当 $n\ge N$ 时，

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{x}{n+1}\le \frac{1}{2}.$$

因此对任意 $k\ge 0$，

$$u_{N+k}\le u_N{\left(\frac{1}{2}\right)}^k.$$

于是尾级数满足比较估计：

$$\sum _{n=N}^{\infty }{u}_n\le u_N\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=2u_N<+\infty .$$

前面有限多项不影响收敛性，所以

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$

收敛。

正弦级数与余弦级数

对任意 $x\in \mathbb{R}$，级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

都绝对收敛。

证明：

对余弦级数，有

$$\left|(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right|=\frac{|x{|}^{2n}}{(2n)!}\le \frac{|x{|}^{2n}}{(2n)!}+\frac{|x{|}^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$

对正弦级数，有

$$\left|(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right|=\frac{|x{|}^{2n+1}}{(2n+1)!}\le \frac{|x{|}^{2n}}{(2n)!}+\frac{|x{|}^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$

而

$$\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{|x{|}^{2n}}{(2n)!}+\frac{|x{|}^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{|x{|}^n}{n!}$$

由指数级数的收敛性可知收敛。因此由比较判别法，以上两个级数都绝对收敛。

于是可以定义

$$\cos x:=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},$$

以及

$$\sin x:=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$