级数

1. 前置

• 非负级数

2. 非负级数的上确界形式的定义

设 $X$ 是一个集合（不一定可数），$f:X\to [0,+\infty ]$ 是一个取值为非负扩展实数的函数。定义 $f$ 在 $X$ 上的级数为：${\sum }_{x\in X}f(x):=\sup \left\{{\sum }_{x\in K}f(x):K\subseteq X,K\text{ 是有限集}\right\}$

首先证明此定义与之前的至多可数的级数定义兼容

如果 $X$ 是有限集，则显然兼容。

如果 $X$ 是可数集，且 $g:{\mathbb{Z}}_{\ge m}\to X$ 是一个双射，那么：${\sup }_{K\subseteq X,|K|<\infty }{\sum }_{x\in K}f(x)={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=m}^{n}f(g(i))$
证明思路：

• ($\ge$)：任何部分和 ${\sum }_{i=m}^{n}f(g(i))$ 都是 $X$ 的一个有限子集的和，所以极限（上确界）一定小于等于右边的 $\sup$。
• ($\le$)：任何有限子集 $K\subseteq X$ 中的元素，总会在 $n$ 足够大时全部出现在 $\{g(m),\dots ,g(n)\}$ 中。由于是非负项，部分和会大于等于该有限子集的和。

Q.E.D.

3. 定义

绝对可和:设 $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$。若其绝对值构成的非负级数收敛，即：${\sum }_{x\in X}|f(x)|={\sup }_{K\subseteq X,|K|<\infty }{\sum }_{x\in K}|f(x)|<+\infty$
则称 $f$ 在 $X$ 上是绝对可和的。

一般项的定义对于绝对可和的函数，可以将其拆分为正部和负部：正部：$f^{+}(x)=\max \{f(x),0\}$负部：$f^{-}(x)=\max \{-f(x),0\}$显然 $f^{+}$ 和 $f^{-}$ 都是非负函数，且 $f=f^{+}-f^{-}$。定义：

${\sum }_{x\in X}f(x):={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)-{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$

绝对可和性保证这个差是良定义的。

广义可和 (Extended Summable):若 ${\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)$ 和 ${\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$ 中至少有一个是有限的。则：${\sum }_{x\in X}f(x):={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)-{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$可能为 $+\infty$ 或 $-\infty$。

3.1. 广义求和定义的兼容性证明 (Consistency Proof)

设 $X$ 为可数集合，$f:X\to \mathbb{R}$ 为定义在 $X$ 上的实值函数。
对于任何双射 $g:\mathbb{N}\to X$，定义级数的部分和为 $S_N={\sum }_{n=1}^{N}f(g(n))$。
要证明：
${\lim }_{N\to \infty }{S}_N={\sum }_{x\in X}f(x):={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)-{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$

3.1.1. 绝对可和情形 (Absolute Summability)

条件： ${\sum }_{x\in X}|f(x)|<\infty$。这意味着 ${\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)$ 与 ${\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$ 均为有限实数。

证明：
将函数分解为正部和负部 $f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)$，其中 $f^{+},f^{-}\ge 0$。部分和可表示为：
$S_N={\sum }_{n=1}^N\left(f^{+}(g(n))-f^{-}(g(n))\right)={\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))-{\sum }_{n=1}^N{f}^{-}(g(n))$

由于 $f^{+}$ 和 $f^{-}$ 是非负函数，且其在 $X$ 上的全集和收敛（分别为 $L^{+}$ 和 $L^{-}$），对于任何双射 $g$，非负级数的重排不改变其收敛性：

• ${\lim }_{N\to \infty }{\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)=L^{+}$
• ${\lim }_{N\to \infty }{\sum }_{n=1}^N{f}^{-}(g(n))={\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)=L^{-}$

知：$S_N$极限存在。

由极限的线性性质（有限实数减法法则）：
${\lim }_{N\to \infty }{S}_N=L^{+}-L^{-}={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)-{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)$

Q.E.D.

3.1.2. 广义可和情形 (Generalized Summability)

条件： 假设 ${\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)=+\infty$ 且 ${\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)=L<+\infty$（或反之）。

证明：
由于 $f^{-}(x)\ge 0$，对于任何有限子集 $\{g(1),\dots ,g(N)\}\subseteq X$，部分和始终满足：
${\sum }_{n=1}^N{f}^{-}(g(n))\le {\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)=L$
代入 $S_N$ 的分解式得到下界估计：
$S_N={\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))-{\sum }_{n=1}^N{f}^{-}(g(n))\ge \left({\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))\right)-L$

考察非负部分 $f^{+}$。由于 $g$ 是双射且 ${\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)=+\infty$，根据非负项级数的性质（其部分和序列单调递增）：
${\lim }_{N\to \infty }{\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))={\sup }_{K\subseteq X,|K|<\infty }{\sum }_{x\in K}{f}^{+}(x)=+\infty$

知：$S_N$极限存在。

利用扩展实数的运算性质，若 $A_N\to +\infty$ 且 $B_N\le L$（$L$ 为常数），则：
${\lim }_{N\to \infty }{S}_N\ge {\lim }_{N\to \infty }\left({\sum }_{n=1}^N{f}^{+}(g(n))-L\right)=(+\infty )-L=+\infty$
同理可证 $\sum f^{+}<\infty ,\sum f^{-}=\infty$ 时极限为 $-\infty$。

Q.E.D.

4. 性质

1. 若一个函数是绝对可和的，那么它至多在可数个点上非零。
2. 设 $f:X\to [0,+\infty ]$ 是非负函数，$\sigma :X\to X$ 是一个双射。则：${\sum }_{x\in X}f(x)={\sum }_{x\in X}f(\sigma (x))$
3. 重排不变性：设级数${\sum }_{x\in X}f(x)$是广义可和的（即 $\min (\sum f^{+},\sum f^{-})<\infty$），那么对于集合 $X$ 的任意置换（双射）$\sigma :X\to X$：${\sum }_{x\in X}f(x)={\sum }_{x\in X}f(\sigma (x))$
4. 设 $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ 是广义可和。设 $c\in \mathbb{R}$ 为任意实数。有${\sum }_{x\in X}(cf(x))=c{\sum }_{x\in X}f(x)$
5. 设级数${\sum }_{x\in X}f(x)$是广义可和的，则 ${\sum }_{x\in A}f(x)={\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$
6. 设级数${\sum }_{x\in X}f(x)$是广义可和的，$X=A\cup B$ 且 $A\cap B=\varnothing$，则${\sum }_{x\in X}f(x)={\sum }_{x\in A}f(x)+{\sum }_{x\in B}f(x)$

---

5. 证明

5.1. 广义可和的齐次性

前提条件：
设 $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ 是广义可和的，即 $\min \left\{{\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x),{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)\right\}<\infty$。
设 $c\in \mathbb{R}$ 为任意实数。

要证明：${\sum }_{x\in X}(cf(x))=c{\sum }_{x\in X}f(x)$。

5.1.1. 引理：非负函数的齐次性

设 $h:X\to [0,+\infty ]$ 是非负函数，且 $a>0$。根据上确界的定义，对于任意有限子集 $K\subseteq X$：

${\sum }_{x\in K}ah(x)=a{\sum }_{x\in K}h(x)$

由于 $a>0$，乘以一个正数不会改变集合元素的偏序关系，因此常数 $a$ 可以直接提出上确界：

${\sup }_{K\subseteq X,|K|<\infty }{\sum }_{x\in K}ah(x)={\sup }_{K\subseteq X,|K|<\infty }\left(a{\sum }_{x\in K}h(x)\right)=a\left({\sup }_{K\subseteq X,|K|<\infty }{\sum }_{x\in K}h(x)\right)$

所以，对于非负函数有：${\sum }_{x\in X}ah(x)=a{\sum }_{x\in X}h(x)$。

下面针对常数 $c$ 的正负性分三种情况进行证明：

5.1.2. 情况一：当 $c>0$ 时

此时，函数 $cf$ 的正部和负部分别满足：

• $(cf{)}^{+}(x)=\max \{cf(x),0\}=c\max \{f(x),0\}=c{f}^{+}(x)$
• $(cf{)}^{-}(x)=\max \{-cf(x),0\}=c\max \{-f(x),0\}=c{f}^{-}(x)$

由于 $f$ 广义可和，$\sum f^{+}$ 与 $\sum f^{-}$ 中至少有一个是有限的。乘以正数 $c$ 后，由于扩展实数系中 $c\cdot \infty =\infty$ 且有限数乘 $c$ 仍为有限数，$(cf{)}^{+}$ 和 $(cf{)}^{-}$ 的级数和同样至少有一个是有限的。因此 $cf$ 也是广义可和的。

根据定义及非负函数齐次性引理：

$$\begin{array}{rl}\sum _{x\in X}(cf(x))& =\sum _{x\in X}(cf{)}^{+}(x)-\sum _{x\in X}(cf{)}^{-}(x)\\ & =\sum _{x\in X}c{f}^{+}(x)-\sum _{x\in X}c{f}^{-}(x)\\ & =c\sum _{x\in X}{f}^{+}(x)-c\sum _{x\in X}{f}^{-}(x)\end{array}$$

根据扩展实数系的分配律（因为排除了 $\infty -\infty$ 的情况）：

$$\begin{array}{r}c\sum _{x\in X}{f}^{+}(x)-c\sum _{x\in X}{f}^{-}(x)=c\left(\sum _{x\in X}{f}^{+}(x)-\sum _{x\in X}{f}^{-}(x)\right)=c\sum _{x\in X}f(x)\end{array}$$

5.1.3. 情况二：当 $c<0$ 时

此时 $c$ 为负数，令 $a=-c=|c|>0$。考察 $cf$ 的正负部，由于乘了负数，函数的正部和负部发生了对调：

• $(cf{)}^{+}(x)=\max \{cf(x),0\}=\max \{-af(x),0\}=a\max \{-f(x),0\}=|c|f^{-}(x)$
• $(cf{)}^{-}(x)=\max \{-cf(x),0\}=\max \{af(x),0\}=a\max \{f(x),0\}=|c|f^{+}(x)$

同样，由于 $\sum f^{+}$ 与 $\sum f^{-}$ 中至少有一个有限，使得 $(cf{)}^{+}$ 和 $(cf{)}^{-}$ 的级数和也至少有一个有限，$cf$ 依然是广义可和的。

利用引理展开：

$$\begin{array}{rl}\sum _{x\in X}(cf(x))& =\sum _{x\in X}(cf{)}^{+}(x)-\sum _{x\in X}(cf{)}^{-}(x)\\ & =\sum _{x\in X}|c|f^{-}(x)-\sum _{x\in X}|c|f^{+}(x)\\ & =|c|\sum _{x\in X}{f}^{-}(x)-|c|\sum _{x\in X}{f}^{+}(x)\end{array}$$

将 $|c|=-c$ 代入：

$$\begin{array}{rl}(-c)\sum _{x\in X}{f}^{-}(x)-(-c)\sum _{x\in X}{f}^{+}(x)& =-c\sum _{x\in X}{f}^{-}(x)+c\sum _{x\in X}{f}^{+}(x)\\ & =c\left(\sum _{x\in X}{f}^{+}(x)-\sum _{x\in X}{f}^{-}(x)\right)\\ & =c\sum _{x\in X}f(x)\end{array}$$

5.1.4. 情况三：当 $c=0$ 时

当 $c=0$ 时，对任意 $x\in X$，$(0\cdot f)(x)=0$。
常数 $0$ 函数在任何集合上的级数显然为 $0$。
另一方面，在测度论及扩展实数运算的常规约定中，$0\cdot (\pm \infty )=0$。因此：

${\sum }_{x\in X}0=0=0\cdot {\sum }_{x\in X}f(x)$

等式依然成立。

综上所述，对任意 $c\in \mathbb{R}$，${\sum }_{x\in X}(cf(x))=c{\sum }_{x\in X}f(x)$ 恒成立。

Q.E.D.

5.2. 广义可和函数的加法可加性

设 $f,g:X\to \overline{\mathbb{R}}$ 是广义可和的，即

$\min \left\{{\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x),{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)\right\}<\infty ,\min \left\{{\sum }_{x\in X}{g}^{+}(x),{\sum }_{x\in X}{g}^{-}(x)\right\}<\infty .$

假设对任意 $x\in X$，$f(x)+g(x)$ 良定义（不出现 $\infty -\infty$），且 $\sum f$ 与 $\sum g$ 不为异号无穷大。要证明：

${\sum }_{x\in X}(f(x)+g(x))={\sum }_{x\in X}f(x)+{\sum }_{x\in X}g(x).$

5.2.1. 引理：非负函数的加法可加性

设 $h_1,h_2:X\to [0,+\infty ]$ 为非负函数。对任意有限子集 $K\subseteq X$，由有限和线性性：

${\sum }_{x\in K}(h_1(x)+h_2(x))={\sum }_{x\in K}{h}_1(x)+{\sum }_{x\in K}{h}_2(x).$

两边对 $K$ 取上确界。由于各项非负，两个部分独立增长互不干扰，上确界可分配：

${\sup }_K{\sum }_{x\in K}(h_1+h_2)={\sup }_K{\sum }_{x\in K}{h}_1+{\sup }_K{\sum }_{x\in K}{h}_2.$

因此对非负函数恒有 ${\sum }_{x\in X}(h_1+h_2)={\sum }_{x\in X}{h}_1+{\sum }_{x\in X}{h}_2$。

5.2.2. 转化为全非负项等式

令 $s=f+g$。利用正负分解 $f=f^{+}-f^{-}$、$g=g^{+}-g^{-}$、$s=s^{+}-s^{-}$，由 $s=f+g$ 得

$s^{+}-s^{-}=(f^{+}-f^{-})+(g^{+}-g^{-}).$

将该式两端所有负项移至对侧，得到逐点成立的全非负项等式：

$s^{+}+f^{-}+g^{-}=s^{-}+f^{+}+g^{+}.$

等式两端每一项（$s^{+},s^{-},f^{+},f^{-},g^{+},g^{-}$）均取值于 $[0,+\infty ]$，式中仅涉及非负加法，在 $\overline{\mathbb{R}}$ 下完全良定义。

5.2.3. 应用非负可加性

对上述全非负等式两端在 $X$ 上求和，由引理 5.2.1（非负函数加法可加性）逐项拆分：

\sum_X s^+ + \sum_X f^- + \sum_X g^- = \sum_X s^- + \sum_X f^+ + \sum_X g^+. \tag{1}

5.2.4. 移项还原

由已知 $\sum f$ 与 $\sum g$ 不为异号无穷大，分两种情况：

• 两者均有限：则 $\sum f^{+},\sum f^{-},\sum g^{+},\sum g^{-}$ 均为有限实数。由 (1) 知 $\sum s^{+},\sum s^{-}$ 亦有限。此时所有项均为实数，直接移项得

  ${\sum }_X{s}^{+}-{\sum }_X{s}^{-}=\left({\sum }_X{f}^{+}-{\sum }_X{f}^{-}\right)+\left({\sum }_X{g}^{+}-{\sum }_X{g}^{-}\right).$

• 有一者为无穷大：不妨设 $\sum f=+\infty$（即 $\sum f^{+}=\infty$，$\sum f^{-}<\infty$）且 $\sum g$ 有限（$\sum g^{+},\sum g^{-}<\infty$）。代入 (1)，右端含 $\sum f^{+}=\infty$ 故为 $\infty$，因此左端 $\sum s^{+}=\infty$ 且 $\sum s^{-}<\infty$。由 $\overline{\mathbb{R}}$ 运算规则（$\infty$ 减去有限数仍为 $\infty$），(1) 两端减去有限项 $\sum s^{-}+\sum f^{-}+\sum g^{-}$ 后等式仍成立。

综合以上情况，最终得到

${\sum }_{x\in X}(f(x)+g(x))={\sum }_{x\in X}{s}^{+}(x)-{\sum }_{x\in X}{s}^{-}(x)={\sum }_{x\in X}f(x)+{\sum }_{x\in X}g(x).$

$\square$

5.3. 指示函数性质

设级数${\sum }_{x\in X}f(x)$是广义可和的，则 ${\sum }_{x\in A}f(x)={\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$

5.3.1. 第一步：针对非负函数的证明

设 $f:X\to [0,+\infty ]$。要证明：

${\sum }_{x\in A}f(x)={\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$

通过分别证明 $\le$ 和 $\ge$ 两个方向的绝对不等式来确立等号。

证明 ${\sum }_{x\in A}f(x)\le {\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$

设 $K_A$ 是 $A$ 的任意一个有限子集（即 $K_A\subseteq A$ 且 $|K_A|<\infty$）。
因为 $A\subseteq X$，显然 $K_A$ 也是 $X$ 的一个有限子集。

对于任意 $x\in K_A$，由于 $x\in A$，根据指示函数的定义有 $I_A(x)=1$，所以：

$f(x)=f(x)\cdot 1=f(x)I_A(x)$

由此可得有限和的不等式（实际上是相等）：

${\sum }_{x\in K_A}f(x)={\sum }_{x\in K_A}f(x)I_A(x)$

由于 $K_A$ 是 $X$ 的一个特定有限子集，它在 $K_A$ 上的和必然小于或等于在整个 $X$ 的所有有限子集上取到的上确界：

${\sum }_{x\in K_A}f(x)\le {\sup }_{K\subseteq X,|K|<\infty }{\sum }_{x\in K}f(x)I_A(x)={\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$

注意，上式右端 ${\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$ 是一个与 $K_A$ 无关的固定常数（或 $+\infty$）。既然对于 $A$ 的任意有限子集 $K_A$ 该不等式都成立，那么对左边关于所有这样的 $K_A$ 取上确界，不等式依然保持：

${\sup }_{K_A\subseteq A,|K_A|<\infty }{\sum }_{x\in K_A}f(x)\le {\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$

根据定义，左边就是 ${\sum }_{x\in A}f(x)$，因此：

${\sum }_{x\in A}f(x)\le {\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)\text{—— 结论 (1)}$

证明 ${\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)\le {\sum }_{x\in A}f(x)$

设 $K$ 是 $X$ 的任意一个有限子集（即 $K\subseteq X$ 且 $|K|<\infty$）。
定义 $K$ 在 $A$ 上的投影交集为 $K_A^{\prime }=K\cap A$。显然，$K_A^{\prime }$ 是 $A$ 的一个有限子集。

现在来拆分有限和 ${\sum }_{x\in K}f(x)I_A(x)$：

${\sum }_{x\in K}f(x)I_A(x)={\sum }_{x\in K\cap A}f(x)I_A(x)+{\sum }_{x\in K\setminus A}f(x)I_A(x)$

• 当 $x\in K\cap A$ 时，$I_A(x)=1$，所以 $f(x)I_A(x)=f(x)$。
• 当 $x\in K\setminus A$ 时（即 $x\notin A$），$I_A(x)=0$，所以 $f(x)I_A(x)=0$。

代入计算得到：

${\sum }_{x\in K}f(x)I_A(x)={\sum }_{x\in K_A^{\prime }}f(x)+0={\sum }_{x\in K_A^{\prime }}f(x)$

因为 $K_A^{\prime }$ 是 $A$ 的一个特定有限子集，所以它必然小于或等于在 $A$ 的所有有限子集上取到的上确界：

${\sum }_{x\in K_A^{\prime }}f(x)\le {\sup }_{K_A\subseteq A,|K_A|<\infty }{\sum }_{x\in K_A}f(x)={\sum }_{x\in A}f(x)$

从而有：

${\sum }_{x\in K}f(x)I_A(x)\le {\sum }_{x\in A}f(x)$

由于该不等式对 $X$ 的任意有限子集 $K$ 均成立，对左边关于所有有限子集 $K$ 取上确界，不等式依然保持：

${\sup }_{K\subseteq X,|K|<\infty }{\sum }_{x\in K}f(x)I_A(x)\le {\sum }_{x\in A}f(x)$

根据定义，左边就是 ${\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$，因此：

${\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)\le {\sum }_{x\in A}f(x)\text{—— 结论 (2)}$

综合结论 (1) 与结论 (2)，对于非负函数，恒有：

${\sum }_{x\in A}f(x)={\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$

5.3.2. 第二步：针对绝对可和函数的推广证明

设 $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ 在 $X$ 上是绝对可和的（即 ${\sum }_{x\in X}|f(x)|<+\infty$）。
定义其正部 $f^{+}(x)=\max \{f(x),0\}$ 和负部 $f^{-}(x)=\max \{-f(x),0\}$，它们都是非负函数，且满足 $f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)$。

现在来看包含指示函数的项 $(f\cdot I_A)(x)$：

$(f\cdot I_A)(x)=f(x)I_A(x)=(f^{+}(x)-f^{-}(x))I_A(x)=f^{+}(x)I_A(x)-f^{-}(x)I_A(x)$

由于 $I_A(x)\ge 0$，容易验证：

• $(f\cdot I_A{)}^{+}(x)=f^{+}(x)I_A(x)$
• $(f\cdot I_A{)}^{-}(x)=f^{-}(x)I_A(x)$

因为 $f$ 在 $X$ 上绝对可和，且 $f^{+}(x)\le |f(x)|$，$f^{-}(x)\le |f(x)|$，由单调性可知 ${\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)I_A(x)$ 和 ${\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)I_A(x)$ 均为有限实数。根据任意集合上级数的作差定义：

${\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)I_A(x)-{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)I_A(x)$

此时，利用已经证明的非负函数的性质，可以将上式右侧的每一项中的 $X$ 转化为 $A$：

${\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)I_A(x)={\sum }_{x\in A}{f}^{+}(x)$

${\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)I_A(x)={\sum }_{x\in A}{f}^{-}(x)$

代入回去得到：

${\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)={\sum }_{x\in A}{f}^{+}(x)-{\sum }_{x\in A}{f}^{-}(x)$

根据定义，右边正是 $f$ 在集合 $A$ 上的求和定义：

${\sum }_{x\in A}{f}^{+}(x)-{\sum }_{x\in A}{f}^{-}(x)={\sum }_{x\in A}f(x)$

最终证得：

${\sum }_{x\in A}f(x)={\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$

Q.E.D.

5.3.3. 第三步：针对广义可和函数的推广

设 $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ 是广义可和的，即

$$\min \left\{\sum _{x\in X}{f}^{+}(x),\sum _{x\in X}{f}^{-}(x)\right\}<\infty .$$

设 $A\subseteq X$。

由于

$$0\le I_A\le 1,$$

有

$$(f{I}_A{)}^{+}=f^{+}{I}_A,(f{I}_A{)}^{-}=f^{-}{I}_A.$$

因此

$$\sum _{x\in X}(f{I}_A{)}^{+}=\sum _{x\in X}{f}^{+}{I}_A=\sum _{x\in A}{f}^{+},$$

以及

$$\sum _{x\in X}(f{I}_A{)}^{-}=\sum _{x\in X}{f}^{-}{I}_A=\sum _{x\in A}{f}^{-},$$

其中最后一个等号正是已经证明过的非负函数情形。

下面只需验证 $f{I}_A$ 仍然广义可和。

由于

$$f^{+}{I}_A\le f^{+},f^{-}{I}_A\le f^{-},$$

由非负级数的单调性可知：

• 若 ${\sum }_{x\in X}{f}^{+}<\infty$，则

  $$\sum _{x\in X}(f{I}_A{)}^{+}=\sum _{x\in A}{f}^{+}\le \sum _{x\in X}{f}^{+}<\infty .$$

• 若 ${\sum }_{x\in X}{f}^{-}<\infty$，则

  $$\sum _{x\in X}(f{I}_A{)}^{-}=\sum _{x\in A}{f}^{-}\le \sum _{x\in X}{f}^{-}<\infty .$$

因此至少有一个仍然有限，所以 $f{I}_A$ 也是广义可和。

于是

$$\begin{array}{rl}\sum _{x\in X}f(x)I_A(x)& =\sum _{x\in X}(f{I}_A{)}^{+}-\sum _{x\in X}(f{I}_A{)}^{-}\\ & =\sum _{x\in A}{f}^{+}-\sum _{x\in A}{f}^{-}\\ & =\sum _{x\in A}f(x).\end{array}$$

故得到

$$\boxed{\sum _{x\in A}f(x)=\sum _{x\in X}f(x)I_A(x)}$$

因此，该性质对广义可和函数同样成立。

5.4. 不相交并集的加法可加性

设级数${\sum }_{x\in X}f(x)$是广义可和的，$X=A\cup B$ 且 $A\cap B=\varnothing$，则${\sum }_{x\in X}f(x)={\sum }_{x\in A}f(x)+{\sum }_{x\in B}f(x)$

5.4.1. 第一步：非负函数情形的证明

设 $f:X\to [0,+\infty ]$ 是非负函数。由于 $X=A\cup B$ 且 $A\cap B=\varnothing$，对于任意 $x\in X$，其指示函数满足：

$I_A(x)+I_B(x)=I_{A\cup B}(x)=I_X(x)=1$

因此，对任意有限子集 $K\subseteq X$，有：

${\sum }_{x\in K}f(x)={\sum }_{x\in K}f(x)(I_A(x)+I_B(x))={\sum }_{x\in K}f(x)I_A(x)+{\sum }_{x\in K}f(x)I_B(x)$

1. 证明 ${\sum }_{x\in X}f(x)\le {\sum }_{x\in A}f(x)+{\sum }_{x\in B}f(x)$
对于 $X$ 的任意有限子集 $K$，结合上确界的定义以及前面已证的性质 ${\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)={\sum }_{x\in A}f(x)$：

${\sum }_{x\in K}f(x)={\sum }_{x\in K}f(x)I_A(x)+{\sum }_{x\in K}f(x)I_B(x)\le {\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)+{\sum }_{x\in X}f(x)I_B(x)={\sum }_{x\in A}f(x)+{\sum }_{x\in B}f(x)$

由于上式右端与 $K$ 无关，对左边取遍所有有限子集 $K\subseteq X$ 的上确界，不等式依然成立：

${\sum }_{x\in X}f(x)\le {\sum }_{x\in A}f(x)+{\sum }_{x\in B}f(x)$

2. 证明 ${\sum }_{x\in X}f(x)\ge {\sum }_{x\in A}f(x)+{\sum }_{x\in B}f(x)$
设 $K_A\subseteq A$ 和 $K_B\subseteq B$ 是任意两个有限子集。因为 $A\cap B=\varnothing$，所以 $K_A\cap K_B=\varnothing$。
令 $K=K_A\cup K_B$，显然 $K$ 也是 $X$ 的一个有限子集。由于 $f$ 非负：

${\sum }_{x\in K_A}f(x)+{\sum }_{x\in K_B}f(x)={\sum }_{x\in K}f(x)\le {\sum }_{x\in X}f(x)$

固定 $K_B$，对所有有限子集 $K_A\subseteq A$ 取上确界：

${\sum }_{x\in A}f(x)+{\sum }_{x\in K_B}f(x)\le {\sum }_{x\in X}f(x)$

再对所有有限子集 $K_B\subseteq B$ 取上确界：

${\sum }_{x\in A}f(x)+{\sum }_{x\in B}f(x)\le {\sum }_{x\in X}f(x)$

综合上述两个方向，非负函数情形证毕：

${\sum }_{x\in X}f(x)={\sum }_{x\in A}f(x)+{\sum }_{x\in B}f(x)$

5.4.2. 第二步：广义可和函数的推广证明

设 $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ 是广义可和的，即 $\min \left\{{\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x),{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)\right\}<\infty$。
将其拆分为正部 $f^{+}$ 和负部 $f^{-}$，它们都是非负函数。

根据广义可和的定义和第一步已证的非负函数性质：

${\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)={\sum }_{x\in A}{f}^{+}(x)+{\sum }_{x\in B}{f}^{+}(x)$

${\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)={\sum }_{x\in A}{f}^{-}(x)+{\sum }_{x\in B}{f}^{-}(x)$

根据任意集合上的级数减法定义：

${\sum }_{x\in X}f(x)={\sum }_{x\in X}{f}^{+}(x)-{\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)=\left({\sum }_{x\in A}{f}^{+}(x)+{\sum }_{x\in B}{f}^{+}(x)\right)-\left({\sum }_{x\in A}{f}^{-}(x)+{\sum }_{x\in B}{f}^{-}(x)\right)$

由于 $f$ 是广义可和的，不妨设 ${\sum }_{x\in X}{f}^{-}(x)<\infty$（另一种情况同理）。由非负项的单调性可知，其子集上的级数也必然有限：

${\sum }_{x\in A}{f}^{-}(x)<\infty \text{且}{\sum }_{x\in B}{f}^{-}(x)<\infty$

既然涉及负部的所有项都是有限实数，就可以在扩展实数集中利用常规的加减法结合律进行重组：

$\begin{array}{rl}\sum _{x\in X}f(x)& =\left(\sum _{x\in A}{f}^{+}(x)-\sum _{x\in A}{f}^{-}(x)\right)+\left(\sum _{x\in B}{f}^{+}(x)-\sum _{x\in B}{f}^{-}(x)\right)\\ & =\sum _{x\in A}f(x)+\sum _{x\in B}f(x)\end{array}$

再结合之前已经通过指示函数证明的性质 ${\sum }_{x\in A}f(x)={\sum }_{x\in X}f(x)I_A(x)$，最终可得：

$\boxed{\sum _{x\in X}f(x)=\sum _{x\in X}(f(x)I_A(x)+f(x)I_B(x))=\sum _{x\in A}f(x)+\sum _{x\in B}f(x)}$

Q.E.D.