赋范向量空间上的级数

前置

• 向量空间
• 级数

定义

设 $(V,\Vert \cdot \Vert )$ 是带绝对值的域 $(F,|\cdot |)$ 上的赋范线性空间，$\{x_n{\}}_{n\ge m}\subset V$。

定义部分和列：

$$s_N=\sum _{n=m}^N{x}_n,N\ge m.$$

若部分和列 $(s_N)$ 在范数诱导的度量下收敛到某个 $s\in V$，即

$$\underset{N\to \infty }{\lim }\Vert s-\sum _{n=m}^N{x}_n\Vert =0,$$

则称级数 ${\sum }_{n=m}^{\infty }{x}_n$ 在 $V$ 中收敛，并记

$$\sum _{n=m}^{\infty }{x}_n=s.$$

若部分和列不收敛，则称级数发散。

绝对收敛

因为 $\Vert x_n\Vert \in [0,+\infty )$，所以可以讨论非负实数级数

$$\sum _{n=m}^{\infty }\Vert x_n\Vert .$$

若

$$\sum _{n=m}^{\infty }\Vert x_n\Vert <+\infty ,$$

则称 ${\sum }_{n=m}^{\infty }{x}_n$ 绝对收敛。

注意：在一般赋范线性空间中，绝对收敛不一定推出收敛；该结论需要空间完备。

Cauchy 判别

设 $s_N={\sum }_{n=m}^N{x}_n$。

级数 ${\sum }_{n=m}^{\infty }{x}_n$ 的部分和列是 Cauchy 列，当且仅当

$$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall q\ge p\ge N,\Vert \sum _{n=p}^q{x}_n\Vert <\epsilon .$$

因此：

1. 若 $\sum x_n$ 收敛，则它的部分和列必为 Cauchy 列。
2. 若 $V$ 是 Banach 空间，则 $\sum x_n$ 收敛当且仅当上面的 Cauchy 条件成立。

绝对收敛推出收敛

若 $V$ 是 Banach 空间，且

$$\sum _{n=m}^{\infty }\Vert x_n\Vert <+\infty ,$$

则 ${\sum }_{n=m}^{\infty }{x}_n$ 在 $V$ 中收敛。

证明：对任意 $q\ge p\ge m$，由三角不等式可得

$$\Vert \sum _{n=p}^q{x}_n\Vert \le \sum _{n=p}^q\Vert x_n\Vert .$$

由于非负实数级数 $\sum \Vert x_n\Vert$ 收敛，其尾和趋于 $0$。因此部分和列 $(s_N)$ 是 Cauchy 列。若 $V$ 完备，则 $(s_N)$ 收敛于某个 $s\in V$，于是 $\sum x_n$ 收敛。

基本性质

设 $\sum x_n$ 与 $\sum y_n$ 是 $V$ 中的级数。

1. 必要条件：若 ${\sum }_{n=m}^{\infty }{x}_n$ 收敛，则 $x_n\to 0$。
2. 线性性：若 $\sum x_n$ 与 $\sum y_n$ 都收敛，且 $a,b\in F$，则 $$\sum _{n=m}^{\infty }(a{x}_n+b{y}_n)=a\sum _{n=m}^{\infty }{x}_n$$

• b\sum_{n=m}

3. 尾项不影响收敛性：对任意 $k\ge m$，${\sum }_{n=m}^{\infty }{x}_n$ 收敛当且仅当 ${\sum }_{n=k}^{\infty }{x}_n$ 收敛。此时 $$\sum _{n=m}^{\infty }{x}_n=\sum _{n=m}^{k-1}{x}_n+\sum _{n=k}^{\infty }{x}_n.$$
4. 绝对收敛的比较判别：若存在非负实数列 $a_n$，使得 $$\Vert x_n\Vert \le a_n,\sum _{n=m}^{\infty }{a}_n<+\infty ,$$ 则 $\sum x_n$ 绝对收敛；若 $V$ 是 Banach 空间，则 $\sum x_n$ 收敛。
5. 范数估计：若 $\sum x_n$ 收敛，且 $\sum \Vert x_n\Vert$ 收敛，则 $$\Vert \sum _{n=m}^{\infty }{x}_n\Vert \le \sum _{n=m}^{\infty }\Vert x_n\Vert .$$

重排

设 $V$ 是 Banach 空间。若 ${\sum }_{n=m}^{\infty }{x}_n$ 绝对收敛，则对任意双射

$$\sigma :{\mathbb{Z}}_{\ge m}\to {\mathbb{Z}}_{\ge m},$$

重排级数

$$\sum _{n=m}^{\infty }{x}_{\sigma (n)}$$

也收敛，并且

$$\sum _{n=m}^{\infty }{x}_{\sigma (n)}=\sum _{n=m}^{\infty }{x}_n.$$

这说明在 Banach 空间中，绝对收敛的向量值级数具有与实数绝对收敛级数类似的稳定性。

证明：

由绝对收敛知

$$\sum _{n=m}^{\infty }\Vert x_n\Vert <+\infty .$$

因为 $V$ 是 Banach 空间，所以 ${\sum }_{n=m}^{\infty }{x}_n$ 收敛。记

$$s=\sum _{n=m}^{\infty }{x}_n.$$

另一方面，重排不改变非负级数的和，因此

$$\sum _{n=m}^{\infty }\Vert x_{\sigma (n)}\Vert =\sum _{n=m}^{\infty }\Vert x_n\Vert <+\infty .$$

再次由 $V$ 的完备性可知，重排级数 ${\sum }_{n=m}^{\infty }{x}_{\sigma (n)}$ 也收敛。下面证明它的和仍为 $s$。

任取 $\epsilon >0$。由于 $\sum \Vert x_n\Vert$ 收敛，存在 $N_0\ge m$，使得

$$\sum _{n=N_0+1}^{\infty }\Vert x_n\Vert <\epsilon .$$

有限集合 $\{m,m+1,\cdots ,N_0\}$ 中的每个指标都会在重排 $\sigma$ 中出现，因此存在 $M_0\ge m$，使得当 $M\ge M_0$ 时，

$$\{m,m+1,\cdots ,N_0\}\subseteq \{\sigma (m),\sigma (m+1),\cdots ,\sigma (M)\}.$$

记

$$t_M=\sum _{n=m}^M{x}_{\sigma (n)}.$$

当 $M\ge M_0$ 时，$t_M$ 已经包含原级数中从 $m$ 到 $N_0$ 的所有项。因此 $s-t_M$ 只由原级数尾部 $\{x_n:n>N_0\}$ 中的项组成。于是由三角不等式与范数估计，

$$\Vert s-t_M\Vert \le \sum _{n=N_0+1}^{\infty }\Vert x_n\Vert <\epsilon .$$

故 $t_M\to s$。也就是说，

$$\sum _{n=m}^{\infty }{x}_{\sigma (n)}=s=\sum _{n=m}^{\infty }{x}_n.$$

Q.E.D.