傅里叶变换

前置

• Dirac分布

傅里叶级数

定义

设 $f$ 为周期 $T$ 的复值函数，且在单个周期内平方可积：$f\in L^2([-T/2,T/2])$。令基频 ${\omega }_0=2\pi /T$。函数组 $\{e^{\mathrm{j}n{\omega }_{0}t}{\}}_{n=-\infty }^{\infty }$ 构成 $L^2([-T/2,T/2])$ 的一组正交基（非规范化），满足

$${\int }_{-T/2}^{T/2}{e}^{\mathrm{j}n{\omega }_{0}t}{e}^{-\mathrm{j}m{\omega }_{0}t}dt=T{\delta }_{mn},$$

故

$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{\mathrm{j}n{\omega }_{0}t},$$

其中傅里叶系数（分析公式）为

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-\mathrm{j}n{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}⟨f,e^{\mathrm{j}n{\omega }_{0}t}⟩,$$

其中 $⟨f,g⟩={\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)\overline{g(t)}dt$。

从 FS 到 FT

核心思想：对非周期信号 $f$，在区间 $[-T/2,T/2]$ 上截断并作周期延拓；当 $T\to \infty$ 时，其傅里叶级数趋于傅里叶变换。

当 $T\to \infty$ 时，${\omega }_0=2\pi /T\to 0$，离散频点 $n{\omega }_0$ 的间隔趋于连续变量 $\omega$。将 $c_n$ 代入合成公式：

$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(\tau )e^{-\mathrm{j}n{\omega }_0\tau }d\tau \right]e^{\mathrm{j}n{\omega }_{0}t}.$$

由 $1/T={\omega }_0/(2\pi )$，上式化为

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\int }_{-T/2}^{T/2}f(\tau )e^{-\mathrm{j}(n{\omega }_0)\tau }d\tau \right]e^{\mathrm{j}(n{\omega }_0)t}{\omega }_0.$$

记括号内积分为 $F(n{\omega }_0)$，令 $\omega =n{\omega }_0$、$d\omega ={\omega }_0$，则求和 ${\sum }_{n}F(n{\omega }_0){\omega }_0$ 在 Riemann 和意义下趋于 $\int F(\omega )d\omega$。令 $T\to \infty$，定义连续傅里叶变换（FT）与逆变换（IFT）：

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm{j}\omega t}dt,f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm{j}\omega t}d\omega .$$

从 FT 到 DFT

将 FT 离散化需两步：时域采样（得到 DTFT）与频域采样（得到 DFT）。

时域采样与 DTFT

理想采样等价于用 Dirac 梳 $p(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)$ 调制连续信号：

$$f_s(t)=f(t)p(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n{T}_s)\delta (t-n{T}_s).$$

对 $f_s$ 作 FT，利用 $\delta$ 的抽样性质：

$$F_s(\omega )=\int \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n{T}_s)\delta (t-n{T}_s)e^{-\mathrm{j}\omega t}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n{T}_s)e^{-\mathrm{j}\omega n{T}_s}.$$

令 $\Omega =\omega T_s$，$x[n]=f(n{T}_s)$，得离散时间傅里叶变换（DTFT）：

$$X(e^{\mathrm{j}\Omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-\mathrm{j}\Omega n}.$$

DTFT 的频域连续且 $2\pi$ 周期：

$$X(e^{\mathrm{j}(\Omega +2\pi )})=X(e^{\mathrm{j}\Omega }),$$

这是 DTFT 与 FT 的关键区别之一：时域离散化导致频域周期延拓。

频域采样与 DFT

DTFT 的频域仍连续，无法直接存储。对长度为 $N$ 的序列 $x[n]$，在 DTFT 的一个周期 $[0,2\pi )$ 上取 $N$ 个均匀频点 ${\Omega }_k=2\pi k/N$（$k=0,\dots ,N-1$），代入 DTFT 得 DFT：

$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-\mathrm{j}\frac{2\pi }{N}kn},k=0,1,\dots ,N-1.$$