Dirac分布

前置

• 对偶空间
• 函数空间

定义

测试函数空间

设 $C^{\infty }(\mathbb{R})$ 为所有无限可微函数 $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{F}$ 的集合（通常 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）。定义 $\varphi$ 的支撑集（Support）为

$$\mathrm{supp}(\varphi ):=\overline{\{x\in \mathbb{R}:\varphi (x)\ne 0\}}.$$

若 $\mathrm{supp}(\varphi )$ 为紧集，则称 $\varphi$ 具有紧支撑（Compact Support）。定义

$$\mathcal{D}(\mathbb{R}):=C_c^{\infty }(\mathbb{R}):=\{\varphi \in C^{\infty }(\mathbb{R})\mid \mathrm{supp}(\varphi )\text{ 为紧集}\}.$$

称 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 为实轴上的测试函数空间（Test Function Space）。

向量空间结构

设 $V_1,V_2$ 为向量空间 $V$ 的线性子空间，则 $V_1\cap V_2$ 也是 $V$ 的线性子空间。

在广义全函数空间 $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{F})$ 上，$C^{\infty }(\mathbb{R})$ 对逐点加法和数乘封闭（可微函数之和、数乘仍可微），$C_c(\mathbb{R},\mathbb{F})$ 对逐点运算封闭，二者均为线性子空间。无限可微函数连续，故 $C^{\infty }(\mathbb{R})\subseteq C(\mathbb{R},\mathbb{F})$，从而

$$\mathcal{D}(\mathbb{R})=C^{\infty }(\mathbb{R})\cap C_c(\mathbb{R},\mathbb{F}).$$

因此 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。 $■$

测试函数空间的拓扑

为讨论连续线性泛函，需赋予 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 一个拓扑。称序列 ${\varphi }_n$ 在 $\mathcal{D}$ 中收敛于 $\varphi$，记作 ${\varphi }_n\stackrel{\mathcal{D}}{\to }\varphi$，当且仅当：

1. 存在固定紧集 $K\subseteq \mathbb{R}$，使得 $\mathrm{supp}({\varphi }_n)\subseteq K$ 且 $\mathrm{supp}(\varphi )\subseteq K$；
2. 对任意整数 $m\ge 0$，

$$\underset{x\in K}{\sup }\left|{\varphi }_n^{(m)}(x)-{\varphi }^{(m)}(x)\right|\to 0,$$

即所有阶导数在 $K$ 上一致收敛。

由此得到 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 的标准拓扑；赋予该拓扑后，$\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 是局部凸拓扑向量空间。

分布空间

设 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 带有上述拓扑。定义其连续对偶空间

$${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R}):=(\mathcal{D}(\mathbb{R}){)}^{\prime }=\{T:\mathcal{D}(\mathbb{R})\to \mathbb{F}\mid T\text{ 为连续线性泛函}\}.$$

称 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 为分布空间（Space of Distributions），其元素称为分布（Distribution）或广义函数（Generalized Function）。

对偶配对

对 $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$，$\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$，定义

$$⟨T,\varphi ⟩:=T(\varphi ),$$

称为分布与测试函数之间的对偶配对。

局部可积函数

设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{F}$ 是一个勒贝格可测函数。若对于 $\mathbb{R}$ 中的任意紧集（即有界闭区间 $[a,b]$），均满足：

$${\int }_a^b|f(x)|dx<\infty$$

则称 $f$ 为 局部可积函数，所有这类函数的集合记为 $L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$。

常规分布

设 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$。定义映射 $T_f:\mathcal{D}(\mathbb{R})\to \mathbb{F}$ 为

$$⟨T_f,\varphi ⟩:={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\varphi (x)dx.$$

容易验证 $T_f$ 是连续线性泛函，故 $T_f\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$。称 $T_f$ 为由函数 $f$ 诱导的常规分布（Regular Distribution）。因此有嵌入

$$L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})\hookrightarrow {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R}),$$

即局部可积函数可视为特殊的分布。

Dirac 分布

定义映射 $\delta :\mathcal{D}(\mathbb{R})\to \mathbb{F}$ 为

$$⟨\delta ,\varphi ⟩:=\varphi (0).$$

称 $\delta$ 为 Dirac 分布（Dirac Distribution）。

线性性

对任意 $a,b\in \mathbb{F}$，$\varphi ,\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$，有

$$⟨\delta ,a\varphi +b\psi ⟩=(a\varphi +b\psi )(0)=a\varphi (0)+b\psi (0),$$

故 $\delta$ 是线性的。

连续性

设 ${\varphi }_n\stackrel{\mathcal{D}}{\to }\varphi$。由测试函数空间拓扑的定义，${\varphi }_n$ 在某固定紧集 $K$ 上与其零阶导数一致收敛；若 $0\in K$，则 ${\varphi }_n(0)\to \varphi (0)$，即

$$⟨\delta ,{\varphi }_n⟩\to ⟨\delta ,\varphi ⟩.$$

若 $0\notin K$，则对充分大的 $n$ 有 ${\varphi }_n(0)=\varphi (0)=0$，结论仍成立。故 $\delta$ 连续，从而 $\delta \in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$。