线性代数的结论

本文的向量空间的域默认都为$\mathbb{R}$

定义

• n阶方阵上的定义内积$⟨A,B⟩:=tr(A^{T}B)$
• $skew(A):=(A-A^T)/2$
• $sym(A):=(A+A^T)/2$

性质

1. 对称矩阵对反对称矩阵正交。
2. 方阵$M$在反对称矩阵空间的正交投影为$skew(M)$
3. 方阵$M$在对称矩阵空间的投影为$sym(M)$
4. 在实数域（$\mathbb{R}$）上，$W{W}^T\mathbf{x}=0⟺W^T\mathbf{x}=0$。
5. 设$H$为实对称半正定矩阵，则$H\mathbf{v}=0⟺{\mathbf{v}}^{T}H\mathbf{v}=0$