散度

定义

设 $\mathbf{F}(\mathbf{x})=(F_1,\dots ,F_d)$ 为 $d$ 维向量场。

$$\nabla \cdot \mathbf{F}=\sum _{i=1}^d\frac{\partial F_i}{\partial x_i}$$

矩阵散度：设 $A(\mathbf{x})=(A_{ij})$ 为矩阵场，其散度为向量场

$$(\nabla \cdot A{)}_i=\sum _j\frac{\partial A_{ij}}{\partial x_j}$$

以下性质对矩阵散度与向量散度都成立。

性质

以下设分量在相应点处可微；$a,b\in \mathbb{R}$ 为常数，${\partial }_i:=\partial /\partial x_i$。

1. 线性性

$$\nabla \cdot (a\mathbf{F}+b\mathbf{G})=a\nabla \cdot \mathbf{F}+b\nabla \cdot \mathbf{G}$$

证：

$$\nabla \cdot (a\mathbf{F}+b\mathbf{G})=\sum _{i=1}^d{\partial }_i(a{F}_i+b{G}_i)=\sum _{i=1}^d(a{\partial }_i{F}_i+b{\partial }_i{G}_i)=a\sum _{i=1}^d{\partial }_i{F}_i+b\sum _{i=1}^d{\partial }_i{G}_i=a\nabla \cdot \mathbf{F}+b\nabla \cdot \mathbf{G}.$$

2. 乘积法则（$f$ 为标量场）

$$\nabla \cdot (f\mathbf{F})=\nabla f\cdot \mathbf{F}+f\nabla \cdot \mathbf{F}$$

证：由标量对向量乘积的分量求导法则 ${\partial }_i(f{F}_i)=({\partial }_{i}f)F_i+f({\partial }_i{F}_i)$，

$$\nabla \cdot (f\mathbf{F})=\sum _{i=1}^d{\partial }_i(f{F}_i)=\sum _{i=1}^d({\partial }_{i}f)F_i+\sum _{i=1}^{d}f({\partial }_i{F}_i)=(\nabla f)\cdot \mathbf{F}+f\nabla \cdot \mathbf{F}.$$

3. 梯度的散度 = Laplacian

$$\nabla \cdot (\nabla f)=\Delta f=\sum _i\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}$$

证：梯度 $(\nabla f{)}_i={\partial }_{i}f$，故

$$\nabla \cdot (\nabla f)=\sum _{i=1}^d{\partial }_i((\nabla f{)}_i)=\sum _{i=1}^d{\partial }_i^{2}f=\Delta f.$$

4. 与 Jacobian：$\nabla \cdot \mathbf{F}=\mathrm{Tr}(J_{\mathbf{F}})$，其中 $(J_{\mathbf{F}}{)}_{ij}={\partial }_j{F}_i$。

证：由迹的定义，

$$\mathrm{Tr}(J_{\mathbf{F}})=\sum _{i=1}^d(J_{\mathbf{F}}{)}_{ii}=\sum _{i=1}^d{\partial }_i{F}_i=\nabla \cdot \mathbf{F}.$$