符号测度与 Hahn-Jordan 分解

前置

• Stieltjes_integral

定义

• 设 $f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ 关于 $\mu$ 的积分存在, 称如下定义的广义实值集函数
  $\nu (A)={\int }_{A}f\mathrm{d}\mu ,A\in \mathcal{F}$
  为 $f$ 关于 $\mu$ 的不定积分 (indefinite integral), 记作 $\nu =f\cdot \mu$

Note Obviously, the indefinite integral $\nu$ defined by satisfies $\nu (\varnothing )=0$, and we know that $\nu$ is countably additive. Furthermore, if $f$ is nonnegative, then $\nu$ is a measure.

• A generalized real-valued set function $\nu :\mathcal{F}\to \overline{\mathbb{R}}$ is called a signed measure on $\mathcal{F}$ if
  1. there exists at least one $A\in \mathcal{F}$ such that $-\infty <\nu (A)<\infty$;
  2. (countable additivity or $\sigma$-additivity) If $A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{F}$ are pairwise disjoint, then $$\nu \left(\underset{n=1}{\overset{\infty }{⨄}}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_n).$$

If $-\infty <\nu (A)<\infty$ for all $A\in \mathcal{F}$, then $\nu$ is called a real-valued signed measure.

• 设 $\nu$ 是 $\mathcal{F}$ 上的符号测度, $A\in \mathcal{F}$. 如果对 $A$ 的每个可测子集 $B$ 都有 $\nu (B)⩾0$, 那么称 $A$ 是 $\nu$ 的正集 (positive set); 如果对 $A$ 的每个可测子集 $B$ 都有 $\nu (B)⩽0$, 那么称 $A$ 是 $\nu$ 的负集 (negative set). $\square$
• 定义 设 $\nu$ 为一符号测度, 若 $|\nu |$ 为有限测度, 则称 $\nu$ 为有限符号测度; 若 $|\nu |$ 为 $\sigma$-有限测度, 则称 $\nu$ 为 $\sigma$-有限符号测度. $\square$

$\forall A\in \mathcal{F}$, 注意到 $|\nu |(A)<\infty \iff {\nu }^{+}(A)<\infty ,{\nu }^{-}(A)<\infty \iff |\nu (A)|<\infty$, 我们有
(i) $\nu$ 为有限符号测度 $\iff {\nu }^{+},{\nu }^{-}$ 均为有限测度 $\iff |\nu (\Omega )|<\infty$;
(ii) $\nu$ 为 $\sigma$-有限符号测度 $\iff \exists {\Omega }_1,{\Omega }_2,\cdots \in \mathcal{F}$ 两两不交, s.t. ${⨄}_{n=1}^{\infty }{\Omega }_n=\Omega$, 且 $|\nu ({\Omega }_n)|<\infty$ 对一切 $n$ 都成立 $\iff {\nu }^{+},{\nu }^{-}$ 均为 $\sigma$-有限测度. $\square$

• 定义 设 $\nu$ 是 $\mathcal{F}$ 上的符号测度, $f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$, 若 $f$ 关于 ${\nu }^{+}$ 及 ${\nu }^{-}$ 的积分都存在, 且 $\int f\mathrm{d}{\nu }^{+}-\int f\mathrm{d}{\nu }^{-}$ 有意义, 则称 $f$ 关于 $\nu$ 的积分存在, 并称
  $\int f\mathrm{d}\nu :=\int f\mathrm{d}{\nu }^{+}-\int f\mathrm{d}{\nu }^{-}$
  为 $f$ 关于 $\nu$ 的积分. 特别地, 若 $\int f\mathrm{d}\nu$ 为实数, 则称 $f$ 关于 $\nu$ 可积. $\square$

• 假设 $f$ 关于 $\nu$ 的积分存在，$\forall A\in \mathcal{F}$, $f{I}_A$ 关于 $\nu$ 的积分也存在. 称
  $\phi (A)={\int }_{A}f\mathrm{d}\nu :=\int f{I}_A\mathrm{d}\nu$
  为 $f$ 关于 $\nu$ 的不定积分，且知 $\phi$ 是 $\mathcal{F}$ 上的符号测度. 特别地，当 $f$ 关于 $\nu$ 可积时，$\phi$ 为实值符号测度.

性质

1. Let $f\in {\mathcal{L}}^{+}(\Omega ,\mathcal{F})$, $\nu =f\cdot \mu$ (thus $\nu$ is a measure). If $g\in \mathcal{L}(\Omega ,\mathcal{F})$, then the integral of $g$ with respect to $\nu$ exists if and only if the integral of $gf$ with respect to $\mu$ exists, and $${\int }_{A}gd\nu ={\int }_{A}gfd\mu ,\forall A\in \mathcal{F}.$$
2. 测度是符号测度;
3. 两个有限测度之差是符号测度.
4. 对于 $\mathcal{F}$ 上的符号测度 $\nu$，我们有
   (i) $\nu (\varnothing )=0$;
   (ii) 对所有的 $A\in \mathcal{F}$, 要么 $-\infty ⩽\nu (A)<\infty$, 要么 $-\infty <\nu (A)⩽\infty$;
   (iii) 若 $\nu (A)\in \mathbb{R}$, 则 $\forall B\in \mathcal{F},B\subset A$, 都有 $\nu (B)\in \mathbb{R}$.
5. 命题 设 $\nu$ 是 $\mathcal{F}$ 上的符号测度, $A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{F}$ 两两不交, 若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\nu (A_n)$ 收敛, 则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\nu (A_n)$ 绝对收敛.
6. 设 $f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$ 关于 $\mu$ 的积分存在, 则由 (8.1) 式定义的不定积分 $\nu$ 是符号测度. 若进一步定义
   ${\nu }_1=f^{+}\cdot \mu ,{\nu }_2=f^{-}\cdot \mu ,$
   则 ${\nu }_1,{\nu }_2$ 是 $\mathcal{F}$ 上的两个测度, 且 $\nu ={\nu }_1-{\nu }_2$, 即符号测度 $\nu$ 可表为两个测度之差
7. 正集的可测子集是正集，负集的可测子集等是负集. ·空集既是正集又是负集.
8. 引理 若 $\{A_n,n⩾1\}$ 是正集列, 则 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n$ 是正集; 若 $\{A_n,n⩾1\}$ 是负集列, 则 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n$ 是负集.
9. 定理 设 $\nu$ 是符号测度, 则存在 $\nu$ 的正集 $P$ 和负集 $N$, 使得 $P\uplus N=\Omega$, 称 $(P,N)$ 是 $\nu$ 的一个 Hahn 分解.
10. 每个符号测度都可以表示成两个测度之差, 并且其中至少之一为有限测度. 证明 设 $\nu$ 是 $\mathcal{F}$ 上的符号测度, $(P,N)$ 是 $\nu$ 的一个 Hahn 分解. $\forall A\in \mathcal{F}$, 令
    ${\nu }^{+}(A)=\nu (A\cap P),{\nu }^{-}(A)=-\nu (A\cap N),$
    容易验证: ${\nu }^{+},{\nu }^{-}$ 都是 $\mathcal{F}$ 上的测度, 并且
    $\nu ={\nu }^{+}-{\nu }^{-}.$
    分别称 ${\nu }^{+}$ 和 ${\nu }^{-}$ 为 $\nu$ 的正部 (positive part) 和负部 (negative part), 并称分解为 $\nu$ 的 Jordan 分解; 称由 $|\nu |={\nu }^{+}+{\nu }^{-}$ 定义的测度为 $\nu$ 的全变差 (total variation).
    如果 $\nu (P)=\infty$, 那么 $\nu (N)>-\infty$, 从而 ${\nu }^{-}(\Omega )<\infty$; 反之, 如果 $\nu (N)=-\infty$, 那么 $\nu (P)<\infty$, 从而 ${\nu }^{+}(\Omega )<\infty$. 不管是哪一种情形, ${\nu }^{+},{\nu }^{-}$ 中至少有一个有限测度. $\square$
11. 命题 设 $\nu$ 是 $\mathcal{F}$ 上的符号测度, $(P_1,N_1)$ 及 $(P_2,N_2)$ 都是 $\nu$ 的 Hahn 分解, 则 $\forall A\in \mathcal{F}$, 有
    $\nu (A\cap P_1)=\nu (A\cap P_2),\nu (A\cap N_1)=\nu (A\cap N_2).$ 这表明, ${\nu }^{+}$ 和 ${\nu }^{-}$ 都不依赖于 Hahn 分解的选择, 即 Jordan 分解是唯一的.
12. 设 $\nu$ 为 $\mathcal{F}$ 上的符号测度，$f\in \overline{\mathcal{L}}(\Omega ,\mathcal{F})$，若 $f$ 关于 $\nu$ 的积分存在（相应地，可积），则 $\forall A\in \mathcal{F}$，$f{I}_A$ 关于 $\nu$ 的积分也存在（相应地，可积）。