直积与直和

前置

• 范畴

记号

设 $\mathcal{C}$ 是范畴，$A,B,X\in \mathrm{obj}(\mathcal{C})$。 $f:X\to A$ 和 $g:X\to B$为态射。

积

定义

$A,B$ 的一个积是对象 $P$ 连同投影

$${\pi }_A:P\to A,{\pi }_B:P\to B,$$

使得对任意 $X$ 及任意 $f:X\to A$、$g:X\to B$，存在唯一态射 $⟨f,g⟩:X\to P$ 满足

$${\pi }_A\circ ⟨f,g⟩=f,{\pi }_B\circ ⟨f,g⟩=g.$$ $$\begin{array}{ccccc}& & X& & \\ & {}^f\swarrow & \downarrow ⟨f,g⟩& {\searrow }^g& \\ A& \stackrel{{\pi }_A}{\leftarrow }& P& \stackrel{{\pi }_B}{\to }& B\end{array}$$

称 $⟨f,g⟩$ 为由 $(f,g)$ 诱导的中介态射。

同构意义下唯一

若 $(P,{\pi }_A,{\pi }_B)$ 与 $(P^{\prime },{\pi }_A^{\prime },{\pi }_B^{\prime })$ 都是 $A,B$ 的积，则存在唯一同构 $\phi :P\to P^{\prime }$ 使

$${\pi }_A^{\prime }\circ \phi ={\pi }_A,{\pi }_B^{\prime }\circ \phi ={\pi }_B.$$

证明

把 $({\pi }_A,{\pi }_B)$ 视为射入 $A,B$ 的一对态射，由 $P^{\prime }$ 的泛性质得到唯一 $\phi :P\to P^{\prime }$ 满足上式：

$$\begin{array}{ccccc}& & P& & \\ & {}^{{\pi }_A}\swarrow & \downarrow \phi & {\searrow }^{{\pi }_B}& \\ A& \stackrel{{\pi }_A^{\prime }}{\leftarrow }& P^{\prime }& \stackrel{{\pi }_B^{\prime }}{\to }& B\end{array}$$

对称地得到唯一 $\psi :P^{\prime }\to P$ 使 ${\pi }_A\circ \psi ={\pi }_A^{\prime }$、${\pi }_B\circ \psi ={\pi }_B^{\prime }$：

$$\begin{array}{ccccc}& & P^{\prime }& & \\ & {}^{{\pi }_A^{\prime }}\swarrow & \downarrow \psi & {\searrow }^{{\pi }_B^{\prime }}& \\ A& \stackrel{{\pi }_A}{\leftarrow }& P& \stackrel{{\pi }_B}{\to }& B\end{array}$$

于是 $\psi \circ \phi$ 与 ${\mathrm{id}}_P$ 都使下图交换：

$$\begin{array}{ccccc}& & P& & \\ & {}^{{\pi }_A}\swarrow & \downarrow \psi \circ \phi & {\searrow }^{{\pi }_B}& \\ A& \stackrel{{\pi }_A}{\leftarrow }& P& \stackrel{{\pi }_B}{\to }& B\end{array}$$

即

$${\pi }_A\circ (\psi \circ \phi )={\pi }_A={\pi }_A\circ {\mathrm{id}}_P,{\pi }_B\circ (\psi \circ \phi )={\pi }_B={\pi }_B\circ {\mathrm{id}}_P.$$

由 $P$ 的中介唯一性，$\psi \circ \phi ={\mathrm{id}}_P$。同理 $\phi \circ \psi ={\mathrm{id}}_{P^{\prime }}$。满足上述交换的同构只能是这个 $\phi$，因为任何这样的态射都是 $({\pi }_A,{\pi }_B)$ 相对 $P^{\prime }$ 的中介态射。

任意指标族

对族 $(A_i{)}_{i\in I}$，积是对象 $P$ 连同投影 ${\pi }_i:P\to A_i$，使得对任意 $X$ 及任意族 $f_i:X\to A_i$，存在唯一 $⟨f_i{⟩}_{i\in I}:X\to P$ 满足 ${\pi }_i\circ ⟨f_i⟩=f_i$ 对一切 $i$ 成立。等价地，

$$\mathrm{hom}(X,\prod _{i\in I}{A}_i)\cong \prod _{i\in I}\mathrm{hom}(X,A_i).$$

对偶与余积

余积

$A,B$ 的一个余积是对象 $Q$ 连同嵌入

$${\iota }_A:A\to Q,{\iota }_B:B\to Q,$$

使得对任意 $X$ 及任意 $f:A\to X$、$g:B\to X$，存在唯一态射 $[f,g]:Q\to X$ 满足

$$[f,g]\circ {\iota }_A=f,[f,g]\circ {\iota }_B=g.$$ $$\begin{array}{ccccc}A& \stackrel{{\iota }_A}{\to }& Q& \stackrel{{\iota }_B}{\leftarrow }& B\\ & {}_f\searrow & \downarrow [f,g]& {\swarrow }^g& \\ & & X& & \end{array}$$

余积在同构意义下唯一