范畴

定义

• 一个范畴(Category) $\mathcal{C}$ 由以下三个核心部分组成：

  • 对象类 (Class of Objects)：记作 $\mathrm{obj}(\mathcal{C})$。其元素 $A,B,C,\dots$ 称为对象(Object)。
  • 态射集合 (Hom-sets)：对于每一对对象 $(A,B)$，存在一个集合 $\mathrm{hom}(A,B)$。其元素 $f:A\to B$ 称为从源(Source) $A$ 到靶(Target) $B$ 的态射(Morphism)。
  • 复合运算 (Composition)：对于态射 $f\in \mathrm{hom}(A,B)$ 和 $g\in \mathrm{hom}(B,C)$，存在唯一的复合态射 $g\circ f\in \mathrm{hom}(A,C)$。

  范畴公理 (Categorical Axioms)上述元素必须满足以下两条公理：

  • 单位律 (Identity Law)：对于每个对象 $A$，存在单位态射 ${\mathrm{id}}_A\in \mathrm{hom}(A,A)$。使得对于任意 $f:A\to B$ 和 $g:C\to A$，满足：
    $f\circ {\mathrm{id}}_A=f\text{且}{\mathrm{id}}_A\circ g=g$
  • 结合律 (Associativity)：对于可复合的态射 $A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C\stackrel{h}{\to }D$，复合运算与结合顺序无关：
    $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

• 称 $\lambda :A\to A$ 为左单位态射，若对任意以 $A$ 为靶的态射 $g$ 都有 $\lambda \circ g=g$。

• 称 $\rho :A\to A$ 为右单位态射，若对任意以 $A$ 为源的态射 $f$ 都有 $f\circ \rho =f$。

• 设 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 为两个范畴，一个函子 (Functor) $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是满足以下条件的映射规则：

  • 对 $\mathcal{C}$ 中任意对象 $X$，指定 $\mathcal{D}$ 中唯一对象 $F(X)$。
  • 对 $\mathcal{C}$ 中任意态射 $f:X\to Y$，指定 $\mathcal{D}$ 中唯一态射 $F(f):F(X)\to F(Y)$。
  • 保持单位态射：对于任意对象 $X\in \mathcal{C}$，有：$F({\mathrm{id}}_X)={\mathrm{id}}_{F(X)}$保持复合运算：对于 $\mathcal{C}$ 中可复合的态射 $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z$，有：$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$

• 同构 (Isomorphism)：在范畴 $\mathcal{C}$ 中，如果一个态射 $f:A\to B$ 存在一个逆态射 $g:B\to A$，使得：$g\circ f={\mathrm{id}}_A,f\circ g={\mathrm{id}}_B$则称 $f$ 为一个同构。

• 自同态 (Endomorphism)：如果一个态射的源 (Source) 和靶 (Target) 是同一个对象，即 $f:A\to A$，则称 $f$ 为对象 $A$ 的一个自同态。所有从 $A$ 到 $A$ 的态射集合记作 $\mathrm{end}(A)$。

• 自同构 (Automorphism)：自同构是指既是“同构”又是“自同态”的态射。

• 自函子 (Endofunctor)：一个自函子 $T:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 是将范畴 $\mathcal{C}$ 映射回自身的函子。

• 复合函子：自函子可以自身复合。记 $T^2=T\circ T$，它将对象 $A$ 映射为 $T(T(A))$。
• 恒等函子：记 ${\mathrm{Id}}_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 为恒等自函子，它将任意对象 $A$ 映射为 $A$ 自身，态射 $f$ 映射为 $f$ 自身。

• 自然变换 (Natural Transformation)：设 $F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是两个函子。一个从 $F$ 到 $G$ 的自然变换 $\alpha :F\Rightarrow G$，是由一族在 $\mathcal{D}$ 中的满足以下性质的态射组成的集合：
  • 对于 $\mathcal{C}$ 中的每个对象 $A$，都对应一个态射 ${\alpha }_A\in {\mathrm{hom}}_{\mathcal{D}}(F(A),G(A))$（称为 $\alpha$ 在 $A$ 处的分量）。
  • 自然性条件 (Naturality Condition)：对于 $\mathcal{C}$ 中任意态射 $f\in {\mathrm{hom}}_{\mathcal{C}}(A,B)$，在 $\mathcal{D}$ 中必须满足以下等式：
    ${\alpha }_B\circ F(f)=G(f)\circ {\alpha }_A$
    即：
    $\begin{array}{ccc}F(A)& \stackrel{F(f)}{\to }& F(B)\\ {\alpha }_A\downarrow & & \downarrow {\alpha }_B\\ G(A)& \stackrel{G(f)}{\to }& G(B)\end{array}$

性质

1. 单位态射唯一。若 $e,e^{\prime }:A\to A$ 都是单位态射，则 $e=e^{\prime }$。

   证明：$e=e\circ e^{\prime }=e^{\prime }$。第一等号用 $e^{\prime }$ 的右单位律，第二等号用 $e$ 的左单位律。

2. 左单位态射唯一。若 $\lambda :A\to A$ 是左单位态射，则 $\lambda ={\mathrm{id}}_A$。

   证明：$\lambda =\lambda \circ {\mathrm{id}}_A={\mathrm{id}}_A$。第一等号用 ${\mathrm{id}}_A$ 的右单位律，第二等号用 $\lambda$ 的左单位律。

3. 右单位态射唯一。若 $\rho :A\to A$ 是右单位态射，则 $\rho ={\mathrm{id}}_A$。

   证明：$\rho ={\mathrm{id}}_A\circ \rho ={\mathrm{id}}_A$。第一等号用 ${\mathrm{id}}_A$ 的左单位律，第二等号用 $\rho$ 的右单位律。