环论(二)

前置

• 环论(一)
• 同态映射

定义

• 环同态映射: $\varphi :R\to R^{\prime }$若满足：
  • $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
  • $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$
• 环同构映射: 称$\varphi :R\to R^{\prime }$为环同构映射，如果$\varphi$是环同态映射且$\varphi$是双射。
• 若$I◃R$,则$I$的所有加法陪集为$R/I=\{r+I|r\in R\}$
• 陪集上的加法和乘法: 设$I$是$R$的子环，$a,b\in R$，$aI+bI:=(a+b)I$, $(a+I)(b+I):=(ab)I$，乘法是良定义的当且仅当$I$是$R$的理想。

性质

1. 环同态映射把子环映射到子环，即$H\le R\Rightarrow \varphi [H]\le R^{\prime }⟺H\le R\Rightarrow \varphi [H]\le \varphi [R]$
2. 环同态映射把子环逆像到子环，即$H^{\prime }\le R^{\prime }\Rightarrow {\varphi }^{-1}[H^{\prime }]\le R$
3. 环同态映射把理想映射到理想，即$I◃R\Rightarrow \varphi [I]◃\varphi [R]$
4. 环同态映射把理想逆像到理想，即$I^{\prime }◃R^{\prime }\Rightarrow {\varphi }^{-1}[I^{\prime }]◃R$
5. 环同构映射的逆映射也是环同态映射。
6. 环同构是等价关系
7. $<R/I,+>$构成交换群
8. $<R/I,\cdot >$继承$<R,\cdot >$的封闭性
9. $<R/I,\cdot >$继承$<R,\cdot >$的结合律
10. $<R/I,+,\cdot >$继承$<R,+,\cdot >$的分配律
11. $<R/I,+,\cdot >$是一个环
12. 如果环有乘法交换律，那因子环也有乘法交换律
13. 如果环有乘法单位元，那因子环也有乘法单位元，$(1+H)(a+H)=(a+H)(1+H)=(a1+H)=(a+H)$
14. 如果环有乘法逆元，那因子环也有乘法逆元，$(a+H)(a^{-1}+H)=(a{a}^{-1}+H)=(1+H)$
15. 若$R$为域，则$R/I$也是域
16. $\gamma :R\to R/I,\gamma (a)=a+I$是环同态映射
17. Let $R$ and $R^{\prime }$ be rings and let $N$ and $N^{\prime }$ be ideals of $R$ and $R^{\prime }$ respectively. Let $\varphi$ be a homomorphism of $R$ into $R^{\prime }$. Then $\varphi$ induces a natural homomorphism ${\varphi }^{\ast }:R/N\mapsto R^{\prime }/N^{\prime }:$ ${\varphi }^{\ast }(a+N)=\varphi (a)+N^{\prime }$ if $\varphi [N]\subseteq N^{\prime }$. $\varphi [N]\subseteq N^{\prime }$确保了同态映射${\varphi }^{\ast }$的良定义性。
18. $\psi :R\to R^{\prime }$是环同态映射,即$\psi (a+b)=\psi (a)+\psi (b),\psi (ab)=\psi (a)\psi (b)$，$H=Ker(\psi )$，则$H$是$R$的一个理想。
    定义$\varphi (a+H)=\psi (a)$,其中$a+H\in R/H$,则$\varphi$是一个是$R/H\to \psi (R)$的一个环同构映射