环论(有限环)

前置

• 群论(循环群)

性质

1. $<{\mathbb{Z}}_m,{\oplus }_m,{\otimes }_m>$是一个环，提示：使用同态映射证明。
2. $n\in {\mathbb{Z}}_m$是零因子等价于$gcd(n,m)>1$
3. 域一定是整环
4. 有限整环是域
5. 对于幺环，环的特征只需要考察$a=1$即可，i.e. if $n1\ne 0$ for all $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$，则环的特征为 0. If $n1=0$ for some $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$，则环的特征为最小满足上述条件的$n$
6. 费马小定理：If $a\in \mathbb{Z},p\nmid a$,且$p$为素数, then $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$
7. If $a\in \mathbb{Z}$,then $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$ where $p$ is prime
8. ${\mathbb{Z}}_n$的所有非零且不是零因子的元素构成一个群
9. 欧拉定理：If $a\in \mathbb{Z},gcd(a,n)=1$, then $a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$, $\varphi (n)=|\{x\in {\mathbb{Z}}_n^{+}|gcd(x,n)=1\}|,\varphi (1)=1$
10. $m$是一个正整数，$a,b\in {\mathbb{Z}}_m,d=gcd(a,m)$,则$ax=b$在${\mathbb{Z}}_m$中有解等价于$d|b$，且解的个数为$d$