群论(一)

前置

• 自然数
• 二元运算

定义

• 半群: 一个集合$G$配备一个二元运算$\ast$，满足封闭性，结合律
• 幺半群: 一个集合$G$配备一个二元运算$\ast$，满足封闭性，结合律，且有单位元
• Group: a set $G$ equipped with a binary operation $\ast$ satisfying the following axioms:
  • (Closure: $\forall a,b\in G,a\ast b\in G$)
  • Associativity: $\forall a,b,c\in G,(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$
  • Identity element: $\exists e\in G,\forall a\in G,e\ast a=a\ast e=a$
  • Inverse element: $\forall a\in G,\exists b\in G,a\ast b=b\ast a=e$
• Subgroup:a subset $H\subseteq G$ that is itself a group under the operation of $G$,记作$H\le G$. 若$H\ne G$，则称$H$为真子群，记作$H<G$
• 交换群: 一个群$G$，如果满足交换律，则称$G$为交换群
• 左陪集：$H\le G$，定义一种关系${\sim }_L$，如果$a{\sim }_{L}b⟺a^{-1}b\in H$，易得${\sim }_L$是等价关系。a的等价类$[a]=:aH=\{ah|h\in H\}$，称为a的左陪集。
• 右陪集：$H\le G$，定义一种关系${\sim }_R$，如果$a{\sim }_{R}b⟺a{b}^{-1}\in H$，易得${\sim }_R$是等价关系。a的等价类$[a]=:Ha=\{ha|h\in H\}$，称为a的右陪集。
• 正规子群：一个子群$H\le G$，如果对于任意$a\in G$，有$aH=Ha$，则称$H$为正规子群。记作$H◃G$
• 极大正规子群：称$M◃G$是极大正规子群，若不存在正规子群$N◃G$使得$\{0\}\le M<N\le G$
• 单群：称$G$是单群，若不存在正规子群$N◃G$使得$\{0\}<N<G$

性质

1. 群有左右消去律
2. 群中线性方程$a\ast x=b$和$y\ast a=b$有唯一解
3. 群中逆元唯一
4. 群的等价定义：封闭，结合律，左单位元存在，左逆元存在。
5. 1,2,3 阶群唯一
6. 群中幂等元唯一, 即单位元。
7. $\forall x\in G,x\ast x=e$，则 G 为交换群
8. $a\ast b\ast c=e⟶b\ast c\ast a=e$
9. 子群判定：$\forall a,b\in H\subset G,a\ast b^{-1}\in H$
10. 一个群的两个子群的交也是一个子群
11. $<\mathbb{N},+>$为交换幺半群
12. $<\mathbb{N},\cdot >$为交换幺半群
13. 子群的单位元等于原群的单位元
14. $H\le G$,正规子群的等价条件：$\forall g\in G,gH=Hg⟺\forall g\in G,gH{g}^{-1}=H⟺\forall g\in G,h\in H,gh{g}^{-1}\in H⟺\forall g\in G,h\in H,g^{-1}hg\in H$
15. $H\le G$,$f:H\to aH,f(h)=ah$为双射
16. $aH=bH⟺a^{-1}b\in H⟺b^{-1}a\in H⟺a\in bH⟺b\in aH⟺b^{-1}aH=H⟺a^{-1}bH=H$
17. 交换群一定为正规子群