群论(幂运算)

前置

• 整数

自然数次幂运算

$G$是一个群，$a\in G$，$n\in \mathbb{N}$

$a^0=e$

$a^n=a^{n-1}a$

性质

1. $a^{n}a=a{a}^n$
2. $a^m{a}^n=a^{m+n}$
3. $(a^n{)}^m=a^{nm}$

整数次幂运算

$G$是一个群，$a\in G$，$n\in \mathbb{Z}$

$a^0=e$

$n\ge 0$时，$a^n=a^{n-1}a$

$n<0$时，$a^n=(a^{-1}{)}^{-n}$

性质

1. $a^{(-1)}=a^{-1}$
2. $a^m{a}^n=a^{m+n}$
3. for $m\ge 0$,$(a^m{)}^{-1}=(a^{-1}{)}^m$
4. $(a^n{)}^m=a^{nm}$