复数构造

Prerequisites

• real-number
• 向量空间

定义

$\mathcal{D}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$

定义$\mathcal{D}$上的加法和乘法：

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

$(a,b)\times (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

容易验证$\mathcal{D}$关于上述加法满足如下性质

• 加法交换律
• 加法结合律
• 加法单位元
• 加法逆元

容易验证$\mathcal{D}$关于上述乘法满足如下性质

• 乘法交换律
• 乘法结合律
• 乘法单位元
• 乘法逆元, 若$(a,b)\ne (0,0)$,则其乘法逆元为$\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)$

容易验证乘法对加法满足分配律

因此$\mathcal{D}$关于上述加法和乘法构成一个域, 称为复数域, 记作$\mathbb{C}$

将复数$(a,b)$记作$a+bi$

内积

$\mathbb{C}$可被看作向量空间$⟨\mathbb{C},\mathbb{C}⟩$

定义$f(a,b)=a\overline{b}$, 易知$f$是$\mathbb{C}$上的内积

内积诱导范数，范数诱导度量。

且内积$f$诱导的度量空间与$R^2$上的度量空间同胚。

共轭

定义复数$z=a+bi$的共轭为$\overline{z}=a-bi$

容易验证共轭满足如下性质

• $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
• $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$
• $\overline{\overline{z}}=z$
• $z\overline{z}=|z{|}^2$