拓展实数域上的点集收敛

前置

• real-number

定义

$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$

${\mathbb{Z}}_{\ge m}=\{n\in \mathbb{Z}\mid n\ge m\}$

以下若没有额外说明，则默认$a_n,b_n,c_n\in \overline{\mathbb{R}}$

序列(数列)：称$(a_n{)}_{n\ge m}$为数列，其中$a_n$为数列的项，$m\in \mathbb{Z}$

收敛：称数列$a_n$收敛于$L\in \overline{\mathbb{R}}$,简记为$a_n\to L$,若$a_n$满足以下两个条件

• 对于任意$l<L$, 存在$N\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$使得对于任意$n\ge N$, $a_n>l$
• 对于任意$u>L$, 存在$N\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$使得对于任意$n\ge N$, $a_n<u$

极限：称$L$为数列$a_n$的极限，若$a_n$收敛于$L$,记作$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=L$

极限点：称$L\in \overline{\mathbb{R}}$是数列$a_n$的极限点，若$a_n$满足以下两个条件

• 对于任意$l<L$, 存在$N\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$使得对于任意$n\ge N$, $a_n>l$
• 对于任意$u>L$, 存在$N\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$使得对于任意$n\ge N$, $a_n<u$

上极限：$L^{+}:=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n:=\underset{n\ge m}{\inf }\underset{k\ge n}{\sup }{a}_k$

下极限：$L^{-}:=\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_n:=\underset{n\ge m}{\sup }\underset{k\ge n}{\inf }{a}_k$

柯西列：称数列$a_n$为柯西列，若对于任意$ϵ>0$, 存在$N\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$使得对于任意$n,m\ge N$, $|a_n-a_m|<ϵ$

性质

• 收敛数列的极限唯一
• 若$(a_n{)}_{n\ge m}$收敛于$x$,则对于任意$k\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$,$(a_n{)}_{n\ge k}$也收敛于$x$
• 若$a_n,b_n$分别收敛于$x,y$,$a_n\ge b_n$,则$x\ge y$
• 若$a_n,b_n$分别收敛于$x,y$,且$x,y\in \mathbb{R}$,则
  • $a_n+b_n$收敛于$x+y$
  • $a_n{b}_n$收敛于$xy$
  • 若$y\ne 0\wedge b_n\ne 0$,则$\frac{1}{b_n}$收敛于$\frac{1}{y}$
  • 若$y\ne 0\wedge b_n\ne 0$,则$\frac{a_n}{b_n}$收敛于$\frac{x}{y}$
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\max (a_n,b_n)=\max (\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n,\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n)$
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\min (a_n,b_n)=\min (\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n,\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n)$
• 若$y<\sup (a_n)$,则存在$n\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$，使得$y<a_n$
• 单调数列必有极限，其极限为其上确界
• 收敛数列只有一个极限点，即这个数列的极限
• 若$L+<x$,则存在$N\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$，使得对于任意$n\ge N$,都有$a_n<x$
• 若$L^{-}>x$,则存在$N\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$，使得对于任意$n\ge N$,都有$a_n>x$
• 若$y<L^{+}$,则存在$n\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$，使得$y<a_n$
• 若$y>L^{-}$,则存在$n\in {\mathbb{Z}}_{\ge m}$，使得$a_n<y$
• $inf(a_n)\le L^{-}\le L^{+}\le sup(a_n)$
• $L^{+}$和$L^{-}$是数列的极限点
• if c is a limit point of a sequence, then $L^{-}\le c\le L^{+}$
• $L^{+}=L^{-}=c⟺\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=c$
• $a_n\le b_n⟹\sup (a_n)\le \sup (b_n)\wedge \inf (a_n)\le \inf (b_n)\wedge \mathrm{limsup}(a_n)\le \mathrm{limsup}(b_n)\wedge \mathrm{liminf}(a_n)\le \mathrm{liminf}(b_n)$
• 若$a_n\le b_n\le c_n$,且$a_n,c_n$收敛于$x$,则$b_n$收敛于$x$
• 若$x\in \mathbb{R}$，则$a_n$收敛于$x⟺\forall ϵ>0,\exists N\in {\mathbb{Z}}_{\ge m},\forall n\ge N,|a_n-x|<ϵ$
• $a_n\to 0$ $⟺$ $|a_n|\to 0$
• 实数域的完备性：若$a_n\in \mathbb{R}$, 则$a_n$是 cauchy 列 $⟺$ $a_n$收敛于$\mathbb{R}$中的某个数
• $\underset{n\ge m}{\inf }\underset{k\ge n}{\sup }{a}_k=\underset{n\ge m_0}{\inf }\underset{k\ge n}{\sup }{a}_k$
• $\underset{n\ge m}{\sup }\underset{k\ge n}{\inf }{a}_k=\underset{n\ge m_0}{\sup }\underset{k\ge n}{\inf }{a}_k$