连续函数实例

前置

• funct-limit
• product-metric-space

实例

以下设 $(X,d_X)$、$(Y,d_Y)$ 为度量空间，$E\subseteq X$。连续性是指 性质 11。因此 $f:E\to Y$ 在 $x_0\in E$ 连续，当且仅当 funct-limit 意义下极限等于函数值。${\mathbb{R}}^n$ 上的欧氏距离是各坐标的乘积度量，其拓扑等于有限积拓扑，见 product-metric-space。

1. 常量函数

设 $c\in Y$，定义 $f:E\to Y$，$f(x)=c$。

证明. 对任意 $x_0\in E$ 与 $ϵ>0$，取任意 $\delta >0$。对一切 $x\in E$，$d_Y(f(x),f(x_0))=0$。

2. 恒等映射

设 $\mathrm{id}:X\to X$，$\mathrm{id}(x)=x$。

证明. 任取 $x_0\in X$ 与 $ϵ>0$，取 $\delta =ϵ$。若 $d_X(x,x_0)<\delta$，则

$$d_X(\mathrm{id}(x),\mathrm{id}(x_0))=d_X(x,x_0)<ϵ.$$

3. 代数运算

设 $f,g:E\to \mathbb{R}$ 连续。则 $f\pm g$ 与 $fg$ 连续。若 $g$ 在 $E$ 上不取零值，则 $f/g:E\to \mathbb{R}$ 连续。

证明. 在每一点极限等于函数值；商的情形还有 $g(x_0)\ne 0$。由 funct-limit 的加减、乘积与商法则，这些运算的极限等于函数值。

4. 最大与最小

设 $f,g:E\to \mathbb{R}$ 连续。则 $\max (f,g)$ 与 $\min (f,g)$ 连续。

证明. funct-limit 的实值最值法则给出 $\lim \max (f,g)=\max (\lim f,\lim g)$ 与 $\lim \min (f,g)=\min (\lim f,\lim g)$。右端等于函数值。

5. 复合

设 $(Z,d_Z)$ 为度量空间，$F\subseteq Y$，$f:E\to Y$ 满足 $f(E)\subseteq F$，且 $f$ 与 $g:F\to Z$ 都连续。则 $g\circ f:E\to Z$ 连续。这是 性质 4。

6. 坐标函数与分量

坐标函数 ${\pi }_i:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$，${\pi }_i(x)=x_i$，是积空间的坐标映射，由 性质 5 连续。

设 $f:E\to {\mathbb{R}}^m$，$f=(f_1,\dots ,f_m)$。由性质 6，$f$ 连续当且仅当每个 $f_i={\pi }_i\circ f$ 连续。

7. 限制与包含映射

设 $f:E\to Y$ 连续，$A\subseteq E$。则限制 $f{|}_A:A\to Y$ 连续。设 $A\subseteq X$，包含映射 $\iota :A\to X$，$\iota (x)=x$，连续。

证明. 任取 $x_0\in A$ 与 $ϵ>0$。由 $f$ 在 $x_0$ 连续，存在 $\delta >0$，使得 $x\in E$ 且 $d_X(x,x_0)<\delta$ 时 $d_Y(f(x),f(x_0))<ϵ$。$A\subseteq E$，故同一 $\delta$ 对 $f{|}_A$ 成立。

对包含映射，任取 $x_0\in A$ 与 $ϵ>0$，取 $\delta =ϵ$。若 $x\in A$ 且 $d_X(x,x_0)<\delta$，则

$$d_X(\iota (x),\iota (x_0))=d_X(x,x_0)<ϵ.$$

估计与恒等映射相同。

8. 多项式与有理函数

${\mathbb{R}}^n$ 上的多项式函数连续。设 $q$ 也是多项式，

$$E=\{x\in {\mathbb{R}}^n:q(x)\ne 0\}.$$

则有理函数 $p/q:E\to \mathbb{R}$ 连续。

证明. 常量函数与坐标函数连续。单项式是它们的有限次乘积，多项式是有限个单项式之和。$p{|}_E$ 与 $q{|}_E$ 连续，且 $q{|}_E$ 不取零值，故商连续。

9. 绝对值

绝对值函数 $|\cdot |:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 连续：因为 $|x|=\max (x,-x)$，而 $-x=(-1)x$。

10. 距离函数

固定 $a\in X$，定义 $f:X\to \mathbb{R}$，$f(x)=d_X(x,a)$。则 $f$ 连续。

证明. 三角不等式给出 $d_X(x,a)\le d_X(x,y)+d_X(y,a)$，故

$$d_X(x,a)-d_X(y,a)\le d_X(x,y).$$

交换 $x$ 与 $y$ 得 $d_X(y,a)-d_X(x,a)\le d_X(x,y)$。因此

$$|d_X(x,a)-d_X(y,a)|\le d_X(x,y).$$

任取 $x_0\in X$ 与 $ϵ>0$，取 $\delta =ϵ$。若 $d_X(x,x_0)<\delta$，则 $|f(x)-f(x_0)|\le d_X(x,x_0)<ϵ$。

11. 粘接

设 $\{B_i{\}}_{i\in I}$ 覆盖 $E$，连续映射 $f_i:B_i\to Y$ 在交上一致，且下列之一成立：每个 $B_i$ 是 $E$ 的开集，或 $I$ 有限且每个 $B_i$ 是 $E$ 的闭集。把 $E$ 当作全空间，由 性质 12，存在唯一的连续映射 $f:E\to Y$，使得每个 $i$ 都有 $f{|}_{B_i}=f_i$。