代数

前置

• 向量空间

定义

如果一个向量空间 $A$ 内部还定义了一种乘法运算（对任意 $f,g\in A$，都有 $f\cdot g\in A$），并且这种乘法满足：

• 结合律：$(f\cdot g)\cdot h=f\cdot (g\cdot h)$
• 分配律：$f\cdot (g+h)=f\cdot g+f\cdot h$ 且 $(f+g)\cdot h=f\cdot h+g\cdot h$
• 与标量乘法相容：$c(f\cdot g)=(cf)\cdot g=f\cdot (cg)$ （其中 $c\in F$）

那么， $A$ 就升级为了 $F$ 上的一个代数。

交换代数：若满足 $f\cdot g=g\cdot f$，则称交换代数（函数空间 $\mathcal{C}(K,F)$ 点乘显然是交换的）。

含幺代数（With Identity）：若存在一个元素 $1\in A$ 使得 $1\cdot f=f\cdot 1=f$，则称含幺代数。

赋范代数（Normed Algebra）：一个代数 $A$ 上定义了范数 $\Vert \cdot \Vert$，且乘法与范数满足次可积性：$\Vert f\cdot g\Vert \le \Vert f\Vert \Vert g\Vert$

Banach 代数：如果这个赋范代数作为线性空间是完备的，则称 Banach 代数。